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Etude d une suite d'entier
Bonjour, je rencontre des difficultés pour résoudre un exercice et j'aimerai obtenir de l'aide. Voici l'énoncé :
On fixe un entier naturel "a" impair. On considère une suite d'entier naturel non nuls qui vérifie pour tout n appartenant à N Un+1 = Un/2 si Un est pair ou Un + a si Un est impair.
1) demontrer que (Un) prend au moins une valeur a
2) demontrer que (Un) prend une infinité de fois des valeurs
a
3) en deduire qu'elle est periodique à partir d'un certain rang.
J'ai commencé à répondre à la 1) mais je suis pas sur de ce que j'ai fait. J'ai dit que si Un est pair alors Un+1 = Un/2 d'où Un = U0 x (1/2)n. Jai calculé limUn lorsque n tend vers l infini et je trouve 0 donc quelque soit "a" impair, il arrivera un moment où(Un) sera inferieur à "a". Or l'énoncé précise que (Un) est une suite d'entier naturel non nul, ce qui chamboule tout mon raisonnement. Ducoup je suis perdu
Ensuite pour la 2) j'ai pensé à un raisonnement par reccurence mais je n'ai pas su répondre à la 1ere question.
Puis pour le 3) je n'en ai aucune idee pour l instant.
Merci beaucoup, excusez moi du dérangement.
Bonjour,
Je pense que tu n'as pas compris la définition de la suite.
Calcule les premiers termes dans un cas particulier, par exemple pour u0 = 12 et a = 7.
Bonjour, en prenant U0= 12 et a = 7 et en prenant le cas où la suite Un est pair, on a Un+1 = Un/2 ce qui est une suite geometrique de la forme Un = U0x(1/2)n = 12 x (1/2)n
Ensuite, je calcule les premiers termes de cette suite : U0=12 et U1= 6 donc 6 < 7 donc la suite (Un) prend au moins une valeur a
Pour le cas où (Un) est impair, on a Un+1 = Un + a. On en déduit la forme explicite qui est Un = U0+an = 12 + 7n. Or, en calculant les premiers termes avec cette suite, celle-ci sera toujours supérieur à 7. Donc le cas où (Un) est impair ne compte pas.
Mon raisonnement est-il juste ??
Tu as écrit Un = 12 x (1/2)n . Ça ne peut pas être bon car, d'après l'énoncé, les termes de la suite sont tous des entiers
Il y a une seule suite avec u0= 12 et a = 7.
Chaque fois que l'on calcule un terme, on se pose la question de la parité.
u0 est pair ; donc u1 = u0/2 = 12/2 = 6
Puis
u1 est pair ; donc u2 = u1/2 = 6/2 = 3
Puis
u2 est impair ; donc u3 = u2 + 7 = 10
A toi de continuer un peu.
Aaaah d'accord, je viens de comprendre la suite ! Donc U4=5 et U5=12 = U0 donc pour répondre à la 3) la suite est périodique à partir du rang 5.
Pour la 1), on calcule U1 = U0/2 car U0 est pair d'où U1 = 12/2 =6 qui est < 7 donc on a montré que la suite prend au moins une valeur < "a"
Et pour la 2), on peut le voir en calculant les termes de la suite jusqu'à ce que les resultats se repétent et on aura démontré que la suite prend une infinité de fois des valeurs < "a"
Merci beaucoup !!
Attention, tu n'as traité qu'un exemple !
Il te reste à traiter le cas général avec u0 entier naturel non nul et a entier naturel impair.
Il n'est dit nulle part que u0 est pair, ni que a est impair.
Une piste :
La suite est minorée par 1 puisque tous les termes sont des entiers strictement positifs.
Elle a donc un plus petit terme.
Tu peux le noter up, et démontrer qu'il est inférieur ou égal à a.
Je suis pas dutout sur de ce que j'ai fait :
On a Up = 1 . Or "a" est un entier naturel impair donc la plus petite valeur que "a" peut prendre est 1 donc Up est inférieur ou égal à "a" ?
La suite est minorée par 1 ne signifie pas qu'il existe un terme égal à 1.
Tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à 1 ; c'est tout.
Sans connaître les définitions, tu vas avoir des difficultés.
Cet exercice n'est pas facile. Tu devrais peut-être t'entrainer avec autre chose.
Je ne vais plus être disponible aujourd'hui.
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