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Étude d'une suite (difficile)

Posté par
yns91
27-08-20 à 13:20

Bonjour l'ile des maths !

Je bloque pour cet exo :

Montrer que la suite (un) définie par f(u_n)=ln(1+\sqrt{u_n}) et u_0=2 converge vers une limite que l'on déterminera.

Ce que j'ai fait,
▪ 2>0 et R+ est stable par  f(x)=ln(1+\sqrt{x}) [\tex] en effet, pour tout réel x strictement positif, [tex]1+\sqrt{x} > 1 et ln(x)>0 <=> x>1 ainsi ln(1+\sqrt{x})>1 donc pour tout réel x de R+, on a f(x)>0.

On peut donc en déduire u_n>0.

Maintenant j'étudie le signe de u(n+1)-u(n).
On a u(n+1)-u(n)= ln(1+\sqrt{u_n})-u_n

Mais après je bloque !

Je songe à résoudre ln(1+\sqrt{x})<x  pour tout x>0.

D'ailleurs, en utilisant ma calculatrice je vois que la suite est décroissante et positive, donc elle converge.
Par la calculatrice (lecture des termes), je vois que la suite semble converger vers 0,55...

Pourriez-vous m'aider à avancer ?

Merci d'avance pour l'aide consacrée!

Posté par
mousse42
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 13:46

Salut,

Pour les suites de type x_{n+1}=f(x_n)

1) Si f est croissante (x_n) est monotone

2) On cherche les points fixes, si elle converge se sera vers un de ses points fixes

3) Puisqu'elle est monotone, est-elle croissante ou décroissante?

4) et ensuite on conclut

Posté par
carpediem
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 13:53

salut

pour étudier le sens de variation des suites définies par une relation de récurrence

il ne faut pas étudier u_{n + 1} - u_n mais u_{n + 1} - u_n en fonction de \red u_n - u_{n - 1} et faire un raisonnement par récurrence

donc calcule u_{n + 2} - u_{n + 1}

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 19:24

D'accord pour la récurrence mais comment je suis censé trouver l'expression du terme général de u_n

Posté par
alb12
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 19:25

salut,
ce n'est pas demandé !

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 19:28

mousse42 je n'arrive pas à determiner si elle est croissante ou décroissante

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 19:29

alb12 comment puis-je montrer que (u_n) est décroissante ? Récurrence ?

Posté par
Ciramor
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 19:32

Bonjour,
Une fois que tu as démontré par récurrence que la suite u_n est décroissante, c'est-à-dire en démontrant la propriété u_{n+1}<u_n comme tu sais qu'elle est à terme positive (sinon \sqrt{u_n} ne serait pas définie), tu as démontré que la suite converge, et il te reste à résoudre l'équation
f(l)=ln(1+\sqrt{l}) où l désigne la limite de la suite

Posté par
alb12
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 19:36

yns91 @ 27-08-2020 à 19:29

alb12 comment puis-je montrer que (u_n) est décroissante ? Récurrence ?

oui en remarquant que la fonction f est strictement ???

Posté par
Ciramor
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 19:48

Si tu suis le conseil de carpediem, tu as:

\large u_{n+2}-u_{n+1}=ln(\frac{1+\sqrt{u_{n+1}}}{1+\sqrt{u_{n}}})

Or tu sais que ln est une fonction strictement croissante et dont ln(1)=0

Ainsi, il suffit de comparer 1+\sqrt{u_{n+1}} avec 1+\sqrt{u_{n}} , or c'est valeurs dépendent des premiers termes. En effet,

puisque tu as u_0>u_1, tu auras \frac{1+\sqrt{u_{1}}}{1+\sqrt{u_{0}}}<1   ln(\frac{1+\sqrt{u_{1}}}{1+\sqrt{u_{0}}})<0, d'où u_2<u_{1}

Et tu vois bien que tu peux ainsi montrer la récurrence pour tout n si ton hypothèse est u_{n+1}<u_n

Posté par
alb12
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 19:55

On peut (on doit) faire vite:
P(n):u(n+1)<u(n)
*P(0) est vraie (pourquoi ? )
*si P(n) est vraie alors u(n+1)<u(n) alors f(u(n+1))<f(u(n)) car f est strictement croissante (pourquoi ? ) alors P(n+1) est vraie

Conclure

Posté par
mousse42
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 20:00

ou plus simple  par récurrence :

f est croissante.

u_0\le u_1, on suppose que u_{n-1}\le u_n$donc$  f(u_{n-1})=u_n\le f(u_n)=u_{n+1} donc (u_n) est croissante.


Si  u_0\ge u_1 ...on fait la même chose

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 20:05

Ok je fais la récurrence pour la décroissance

Maintenant je dois résoudre l'équation

l=ln(1+\sqrt{l})

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 20:07

l=ln(1+\sqrt{l}) équivaut à e^2x-2e^x=x-1

Et je m'arrive pas à résoudre l'équation

Nb: je sais bien que 1=e^0 mais la facto n'aboutit à rien

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 20:09

Edit : remplacer e^2x par e^{2x} dans le dernier message de 27-08-2020 à 20h07

Posté par
Ciramor
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 20:16

Je te conseil de poser g(x)=e^{2x}-2e^{x}-x+1, et tu dois donc résoudre l'équation g(x)=0
Pour cela, dérive g(x), détermine le signe de g'(x) en fonction de x (ce qui est faisable en résolvant l'équation de second degré que tu auras en posant X=e^x. Tu auras donc les variations de g(x)
Enfin, tu n'auras plus qu'à faire un théorème des valeurs intermédiare pour résoudre l'équation g(x)=0

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 20:18

Oulaaa

Merci beaucoup ! Théorème des VI pour trouver une approximation de la solution ?

Posté par
Ciramor
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 20:21

Oui, exactement!
Tu va voir, c'est une méthode très classique que tu réutilisera normalement beaucoup en terminal (on note la solution alpha généralement et on en donne une valeur approchée, comme on n'a pas les outils pour en trouver une valeur exacte en terminal).
Bonne chance !

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 27-08-20 à 20:32

Merci ! Je vous dit tout demain matin ^^ bonne soirée

Posté par
mousse42
re : Étude d'une suite (difficile) 28-08-20 à 08:54

Bonjour,

Pour trouver des points fixes, on résout l'équation \ln(1+\sqrt{x})-x=0,  note que 0 est solution, avant d'entreprendre la recherche d'un autre point fixe (peut être plus compliqué), ce serait dommage de passer à côté de celui-ci qui faciliterais le problème dans le cas où bien sûr cette suite converge vers ce point.

Je te conseille de tracer la fonction f :x\mapsto \ln(1+\sqrt{x}) et la fonction x\mapsto x, et de déterminer graphiquement les premiers termes de la suite.(phase d'observation).

ou alors observer ce qui se passe lorsque f(x)\le x et lorsque f(x)\ge x avec une fonction quelconque.

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 10:29

Bonjour,

je n'arrive pas à trouver un encadrement nécessaire grace au théorème des valeurs intermédaires... je trouve que la fonction a une racine entre - infini et ln(\frac{1+\sqrt{3}}{2}) et entre ln(\frac{1+\sqrt{3}}{2}) et + infini...


J'ai trouvé que résoudre l'équation l = ln(1+ l ) , i.e le passage à la limite, revient à résoudre l'équation
e^x = \sqrt{x} + 1, après de longues manipulations... je n'aboutis à rien...

On sait que le premier point fixe est 0, mais ce n'est pas la limite de la suite graphiquement on a un deuxième point fixe, en x environ égal à 0,55. C'est ce point fixe qui est la limite de la suite après étude des termes de la suite mais maintenant il faut le montrer...

Posté par
Ciramor
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 11:03

Bonjour,
En faite, ton observation graphique suffit à appliquer le théorème des valeurs intermédiaires de cette façon:

Sur l'intervalle [ln(\frac{1+\sqrt{3}}{2}); +\infty[ ,
1) g est continue (car dérivable)
2) g est strictement croissante
3) 0 [g(ln(\frac{1+\sqrt{3}}{2}); +\infty[ , donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 admet une unique solution notée sur cet intervalle.

Pour obtenir une valeur approchée de cette solution (tu ne peut pas trouver la valeur exacte):

g(0,55) -0,01<g(\alpha)=0<g(0,56)\approx 0,004   Or g est croissante sur cette intervalle, d'où:

0,55<\alpha<0,56

Posté par
mousse42
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 11:19

Salut

Tu peux tenter d'approcher ce point fixe en utilisant la méthode de Newton.

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 11:20

J'avais fait ce que tu avais fait...

Mais du coup, algébriquement c'est possible de trouver une solution de (E) ?

On a quatre différentes expressions de (E) :

(E) : ln(1+\sqrt{x})-x=0
(E) : e^{x}-\sqrt{x}-1=0
(E) : e^{2x}-2e^{x}-x+1=0
(E) : (e^x - 1)^2 = x

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 11:20

Méthode de newton, dichitomie, héron(?)

Posté par
Ciramor
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 11:36

Je ne connais personnellement pas de méthode qui permette de résoudre algébriquement cette équation, je sais juste approcher les solutions grâce à différents théorèmes, mais en terminale, on ne t'en demanderas normalement pas de valeur exacte.

Posté par
carpediem
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 12:02

il y a une solution évidente : x = 0 ...

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 12:14

carpediem on cherche la deuxième solution !!

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 12:15

carpediem tu penses que en passant par la primitive je peux trouver la racine de (E) ?

Posté par
alb12
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 12:20

On prouve l'existence d'une solution strictement positive
On la note alpha
On se sert de alpha pour prouver la convergence de la suite

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 12:24

Comment ?

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 12:26

On a déjà prouvé l'existence de la convergence, (un) est positif pour tout entier naturel n, car R+ est stable par rapport à la fonction s(x)=ln(1+\sqrt{x}).
Elle est donc minorée par 0.

De plus, elle est décroissante (par récurrence) donc elle converge vers l positif ou nul.

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 12:28

Il s'agit maintenant de chercher le 2è point fixe (0,55 approx.)

Posté par
alb12
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 12:41

montre que la suite est minoree par alpha

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 13:17

On ne connait pas la valeur de alpha mais il est évident que u_n est minorée car l car elle converge vers un réel positif et elle décroit !

Posté par
alb12
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 13:34

ok la suite est convergente mais j'ai besoin de savoir que sa limite est strictement positive
montre par recurrence que la suite est minoree par alpha

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 14:13

Là j'ai l'impression qu'on me m'aide pas mais l'inverse


On a montré que un positif et un décroissante. Elle converge donc vers un réel positif !!!!! Ce réel positif MINORE la suite

Posté par
alb12
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 14:25

"Elle converge donc vers un réel positif !!!!!"
Ne nous enervons pas
c'est vrai mais pourquoi cette lmite ne serait-elle pas 0 ?

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 14:33

0 est positif

Posté par
yns91
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 14:33

On ne parle pas encore de réel strictement positif

Posté par
alb12
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 14:38

in fine on demontre que la limite de la suite est l'une des solutions de l'equation f(x)=x
Or cette equation a 2 solutions, l'une etant 0
Pour terminer l'exercice il me faut un argument qui exclut 0 comme limite
C'est pourquoi je te demande de montrer que la suite est minoree par alpha

Posté par
carpediem
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 16:13

posons f(x) = x $ et $ g(x) = \ln (1 + \sqrt x)

f(1/4) = 1/4 et g(1/4) = ln (3/2) > 1/4

or lim g/f = 0 (x --> +oo) et f et g sont continues

donc l'équation f(x) = g(x) admet une unique solution supérieur à 1/4

Posté par
alb12
re : Étude d'une suite (difficile) 29-08-20 à 21:07

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