Bonjour l'ile des maths !
Je bloque pour cet exo :
Montrer que la suite (un) définie par et
converge vers une limite que l'on déterminera.
Ce que j'ai fait,
▪ 2>0 et R+ est stable par et
<=>
ainsi
donc pour tout réel x de R+, on a f(x)>0.
On peut donc en déduire .
Maintenant j'étudie le signe de u(n+1)-u(n).
On a u(n+1)-u(n)=
Mais après je bloque !
Je songe à résoudre pour tout x>0.
D'ailleurs, en utilisant ma calculatrice je vois que la suite est décroissante et positive, donc elle converge.
Par la calculatrice (lecture des termes), je vois que la suite semble converger vers 0,55...
Pourriez-vous m'aider à avancer ?
Merci d'avance pour l'aide consacrée!
Salut,
Pour les suites de type
1) Si est croissante
est monotone
2) On cherche les points fixes, si elle converge se sera vers un de ses points fixes
3) Puisqu'elle est monotone, est-elle croissante ou décroissante?
4) et ensuite on conclut
salut
pour étudier le sens de variation des suites définies par une relation de récurrence
il ne faut pas étudier mais
en fonction de
et faire un raisonnement par récurrence
donc calcule
Bonjour,
Une fois que tu as démontré par récurrence que la suite est décroissante, c'est-à-dire en démontrant la propriété
comme tu sais qu'elle est à terme positive (sinon
ne serait pas définie), tu as démontré que la suite converge, et il te reste à résoudre l'équation
où l désigne la limite de la suite
Si tu suis le conseil de carpediem, tu as:
Or tu sais que ln est une fonction strictement croissante et dont ln(1)=0
Ainsi, il suffit de comparer avec
, or c'est valeurs dépendent des premiers termes. En effet,
puisque tu as , tu auras
, d'où
Et tu vois bien que tu peux ainsi montrer la récurrence pour tout n si ton hypothèse est
On peut (on doit) faire vite:
P(n):u(n+1)<u(n)
*P(0) est vraie (pourquoi ? )
*si P(n) est vraie alors u(n+1)<u(n) alors f(u(n+1))<f(u(n)) car f est strictement croissante (pourquoi ? ) alors P(n+1) est vraie
Conclure
ou plus simple par récurrence :
est croissante.
, on suppose que
donc
est croissante.
Si ...on fait la même chose
équivaut à
Et je m'arrive pas à résoudre l'équation
Nb: je sais bien que 1=e^0 mais la facto n'aboutit à rien
Je te conseil de poser , et tu dois donc résoudre l'équation g(x)=0
Pour cela, dérive g(x), détermine le signe de g'(x) en fonction de x (ce qui est faisable en résolvant l'équation de second degré que tu auras en posant . Tu auras donc les variations de g(x)
Enfin, tu n'auras plus qu'à faire un théorème des valeurs intermédiare pour résoudre l'équation g(x)=0
Oui, exactement!
Tu va voir, c'est une méthode très classique que tu réutilisera normalement beaucoup en terminal (on note la solution alpha généralement et on en donne une valeur approchée, comme on n'a pas les outils pour en trouver une valeur exacte en terminal).
Bonne chance !
Bonjour,
Pour trouver des points fixes, on résout l'équation , note que 0 est solution, avant d'entreprendre la recherche d'un autre point fixe (peut être plus compliqué), ce serait dommage de passer à côté de celui-ci qui faciliterais le problème dans le cas où bien sûr cette suite converge vers ce point.
Je te conseille de tracer la fonction et la fonction
, et de déterminer graphiquement les premiers termes de la suite.(phase d'observation).
ou alors observer ce qui se passe lorsque et lorsque
avec une fonction quelconque.
Bonjour,
je n'arrive pas à trouver un encadrement nécessaire grace au théorème des valeurs intermédaires... je trouve que la fonction a une racine entre - infini et et entre
et + infini...
J'ai trouvé que résoudre l'équation l = ln(1+ l ) , i.e le passage à la limite, revient à résoudre l'équation
, après de longues manipulations... je n'aboutis à rien...
On sait que le premier point fixe est 0, mais ce n'est pas la limite de la suite graphiquement on a un deuxième point fixe, en x environ égal à 0,55. C'est ce point fixe qui est la limite de la suite après étude des termes de la suite mais maintenant il faut le montrer...
Bonjour,
En faite, ton observation graphique suffit à appliquer le théorème des valeurs intermédiaires de cette façon:
Sur l'intervalle ,
1) g est continue (car dérivable)
2) g est strictement croissante
3) 0
, donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 admet une unique solution notée
sur cet intervalle.
Pour obtenir une valeur approchée de cette solution (tu ne peut pas trouver la valeur exacte):
Or g est croissante sur cette intervalle, d'où:
J'avais fait ce que tu avais fait...
Mais du coup, algébriquement c'est possible de trouver une solution de (E) ?
On a quatre différentes expressions de (E) :
(E) :
(E) :
(E) :
(E) :
Je ne connais personnellement pas de méthode qui permette de résoudre algébriquement cette équation, je sais juste approcher les solutions grâce à différents théorèmes, mais en terminale, on ne t'en demanderas normalement pas de valeur exacte.
On prouve l'existence d'une solution strictement positive
On la note alpha
On se sert de alpha pour prouver la convergence de la suite
On a déjà prouvé l'existence de la convergence, (un) est positif pour tout entier naturel n, car R+ est stable par rapport à la fonction s(x)=.
Elle est donc minorée par 0.
De plus, elle est décroissante (par récurrence) donc elle converge vers l positif ou nul.
On ne connait pas la valeur de alpha mais il est évident que u_n est minorée car l car elle converge vers un réel positif et elle décroit !
ok la suite est convergente mais j'ai besoin de savoir que sa limite est strictement positive
montre par recurrence que la suite est minoree par alpha
Là j'ai l'impression qu'on me m'aide pas mais l'inverse
On a montré que un positif et un décroissante. Elle converge donc vers un réel positif !!!!! Ce réel positif MINORE la suite
"Elle converge donc vers un réel positif !!!!!"
Ne nous enervons pas
c'est vrai mais pourquoi cette lmite ne serait-elle pas 0 ?
in fine on demontre que la limite de la suite est l'une des solutions de l'equation f(x)=x
Or cette equation a 2 solutions, l'une etant 0
Pour terminer l'exercice il me faut un argument qui exclut 0 comme limite
C'est pourquoi je te demande de montrer que la suite est minoree par alpha
posons
f(1/4) = 1/4 et g(1/4) = ln (3/2) > 1/4
or lim g/f = 0 (x --> +oo) et f et g sont continues
donc l'équation f(x) = g(x) admet une unique solution supérieur à 1/4
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :