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Étude de fonction 1
Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.
Exercice :
Soit f la fonction définie sur ]-π ; π[ par : f(x)=tan(x/2)
1. Vérifier que f'(x)=(1/2)[1+( f(x) )²]
2. En déduire que f est une bijection de ]-π ; π[ vers un intervalle J à préciser .
3. On note f-1 sa bijection réciproque. Démontrer que f-1 est dérivable sur R et que :
Réponses :
1.
2.
f est continue et strictement croissante sur ]-π ; π[ donc f réalise une bijection de ]-π ; π[ dans f(]-π ; π[)=R
3. f-1 a le même sens de variation que f , donc f est strictement croissante sur R et
Donc f est dérivable sur R.
Explications f-1.
f: ]-π ; π[ ---> R
x |-----> tan(x/2)
Je bloque ici
Bonjour,
Dans 2), tu ne justifies pas l'image de l'intervalle ]-π ; π[.
Pour 3), regarde le théorème de dérivabilité d'une fonction réciproque.
Que doit vérifier la dérivée de f pour que f-1 soit dérivable ?
Par ailleurs, dans 1), le calcul est juste, mais écrire des "prim" derrière x n'est pas correct.
Pose u(x) = x/2
pour pouvoir utiliser
f(x) = tan(u(x))
et écrire
f'(x) = u'(x)
tan'(u(x))
Bonjour,
Tu as du voir dans ton cours quelque chose comme ça :
Dérivées d'une fonctionréciproque :
Si fest une fonction de la variable x sur un intervalle I, dérivable, avec f′ partout non nulle, alors f est soit strictement croissante soit strictement décroissante et elle établit une bijection de I sur son imageJ = f(I) (qui est aussi un intervalle). La fonction réciproque g = f-1, de la variable y, est à son tour dérivable et on a pour tout y de J : g′(y) =1/f′(g(y))
Et on à très envie de l'appliquer la formule de 1) :
f'(x)=(1/2)[1+( f(x) )²] , donc 1/f'(x) =...
Donc (f-1)'(x) est dérivable sur R .
.
Je ne vois pas l'intérêt de ce que tu as écrit ensuite pour 3).
Tes limites sont exactes, mais tu as une drôle de manière de les démontrer.
Quelques liens avec des mots pourraient rendre la chose plus claire.
Et la limite de sin(x/2) n'est jamais évoquée.
Je ne vais plus être disponible ( ça va être l'heure du repas 
).
Si LeHibou veut bien prendre la suite 
Quelques liens avec des mots pourraient rendre la chose plus claire.
Comment ça ?
3)
f'(x)=(1/2)[1+(f(x))²]
(f-1)'(x)=1/f'(x)
=1 / (1/2)[1+(f(x))²]
(f-1)'(x)=2 / 1+ (f(x))²
Je ne vois pas l'intérêt de ce que tu as écrit ensuite pour 3).
À 17h 52 ( 1er message) ?
Si oui,
Je voulais trouver l'expression de f-1 et ensuite dériver celle-ci.
C'était dans ton message de 18h59.
Le 2) est au milieu de ce que tu as écrit pour 2), pas pour 3). Je viens de m'en apercevoir.
Pour rédiger les limites, il faut justifier la limite du numérateur puis la limite du dénominateur et écrire ces limites.
Ensuite, rédiger quelque chose du genre " par quotient, on a donc ... ".
A 18h59, tu n'écris jamais que la limite du numérateur est 1 et que celle du dénominateur est 0+ ou 0-.
Le 2) est au milieu de ce que tu as écrit pour 2), pas pour 3). Je viens de m'en apercevoir.
Je n'ai pas compris ce que vous vouliez dire .
Justifier toutes ces limites , avec latex ça prend beaucoup trop de temps.
Dans ton message de 18h59, j'ai cru que cette ligne et les suivantes faisaient suite à ce que tu as écrit pour 3)
alors que c'était le début de 2).
Essaye de calculer (f-1)'(x) avec la formule du cours sur la dérivée d'une fonction réciproque.
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