la fonction c'est f_n(x)=xⁿ.ln(x)

Bonsoir,
Il me semble qu'il suffit de prouver que la limite en 0 de f_n(x) est égale à f_n(0), c'est à dire à 0: mais c'est un résultat de cours... (croissances comparées)

Oui merci, mais par la suite on me demande la dérivée f_n'(0), je vois pas du totu comment calculer sa

Calcules d'abord f'_n(x) (avec la formule (u*v)') puis tu l'appliques à 0

j'obtient f_n'(x)= nx^n-1.ln(x) + xⁿ/x

oui, et xⁿ/x = x^n-1, que tu peux factoriser (pour faire joli)

f'_n(x)= x^n-1(n.ln(x)+1)
et je remplace les x par des 0 je suppose, ce qui donne:

0^n-1(n.ln(0)+1) et la euh...

Oups, je me suis pris les pieds dans le tapis: on ne peut pas calculer f(0) ainsi: c'est un prolongement par continuité.
Il faut revenir à la déf de la dérivée: calculer la limite quand h tend vers 0 de [f(o+h)-f(0)]/h...

quand h tend vers 0 sa donne (0+0)ⁿ.ln(0+0)-0ⁿ.ln(0)/0 ba je dirai bien que sa fait 0 mais sa parait confu comme calcule

Non, "ln(0)" n'existe pas!
[f(o+h)-f(0)]/h=(f(h)-0)/h=f(h)/h=h^n-1ln(h)
Et la limite de cette expression quand h tend vers 0 est nulle (voir cours)

mais on tombe quand meme sur un ln(o) a la fin, mais en quoi se calcule me donne la derivee? de fn(o)?

C'est la définition du nombre dérivé:
le nombre dérivé de f en a est la limite lorsque h tend vers 0 de [f(a+h)-f(a)]/h.
Ici, a=0, et donc on cherche la limite quand h tend vers 0 de [f(o+h)-f(0)]/h.
Cette expression est égale à h^n-1ln(h).
Or, la limite de xⁿln(x) en 0 est égale à 0, d'où le résultat...

Donc la dériver de fn'(o) est 0, si j'ai bien compris.
Ensuite on me demande ce que je peux dire de la tangente en 0 a la courbe de la fonction, elle est verticale non?
et derniere chose les deux questions qui suivent sont:
etudier les variation de fn en [0;+inf[
et dresser le tableai de variation de fn en [0;+inf[

C'est quoi la difference en tre ces 2 question?

Avec un nombre dérivé égal à 0, la tangente est plutôt horizontale...
Pour la suite, tout est dans la finesse:
"etudier les variation de fn en [0;+inf[": on demande juste les variations (f croissante sur... décroissante sur...)
"dresser le tableai de variation de fn en [0;+inf[": ici, il faudra compléter, c'est à dire mettre des valeurs aux bouts des flèches (limites, et calculs des extrémums)
Bon, fini pour moi ce soir, bonne nuit!

Bonne nuit a toi aussi, et merci beaucoup