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Etude de fonction

Posté par
Claiiire 02-08-11 à 14:05

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre un exercice :
Soit f une fonction définie sur ]8;+oo[ par f(x)=x3/x-8 .
1. a) Déterminer la limite de f en +oo.
lim x3=+oo
x->+oo
lim x-8=+oo
x->+oo
lim f(x)=+oo
x->+oo

b. Déterminer la limite de f en 8. Interpréter graphiquement le résultat.
lim x3=512
x->8
lim x-8=8
x->8
lim f(x)=+oo
x->8
Conséquence graphique : la droite d'équation x=8 est asymptote verticale.

2) a. Calculer f'(x) pour tout x de ]8;+oo[
f'(x)=3x3(x-8)-(x3)/(x-8)2
     = 2x3-24x2 / (x-8)2
Je ne sais pas si je dois factoriser ou non ? Si oui, par quoi ?

b. Dresser le tableau de variations de f.
Je ne vois pas comment faire à partir de l'expression de f'(x).

Merci de votre aide.

Posté par
mdr_nonre : Etude de fonction 02-08-11 à 14:29

bonjour

1.a) est faux !

\huge \red \boxed{\frac{\infty}{\infty}}  \Large \blue \rm{est  une  forme  indéterminee  !}

tu dois utiliser le théorème :

la limite d'une fonction rationnelle en l'infini est celle du quotient des termes de plus haut degré

Posté par
mdr_nonre : Etude de fonction 02-08-11 à 14:33

1.b) aussi est faux !

\huge \boxed{{\red \lim_{x \to 8} x - 8 = 0}}   et  non  pas  8

Posté par
Glapion Moderateurre : Etude de fonction 02-08-11 à 14:35

Bonjour,
Pour la 1) tu es / donc indéterminé, pour lever l'indétermination il faut mettre un x en facteur et écrire la fonction x²/(1-8/x) et là effectivement on voit qu'elle tend vers l'infini.
OK pour 1b)
Oui pour la 2) il faut factoriser la dérivée 2x²(x-12)/(x-8)² et étudier le signe de la dérivée en regardant le signe de chaque facteur et en faisant un tableau de signes.
2b) tu en déduiras quand est-ce que la fonction est croissante ou décroissante et tu pourras faire le tableau de variations.

Etude de fonction

Posté par
mdr_nonre : Etude de fonction 02-08-11 à 14:38

2.a)  oui

\huge \boxed{f'(x) = \frac{2x^3 - 24x^2}{(x - 8)^2}}

c'est le numérateur que tu dois factoriser

propose quelque chose ? le facteur commun n'est pas difficile ici ...

2.b) tu dois te rappeler ton cour :

\Large \boxed{ \rm f'(x) \geq 0  \Leftrightarrow  f  croissant} \\ \\ \boxed{\rm f'(x) \leq 0  \Leftrightarrow  f  decroissant}

Posté par
Claiiirere : Etude de fonction 02-08-11 à 15:12

1) a.
lim x3=+oo        lim x-8=+oo
x->+oo            x->+oo
>> Forme indéterminée.
f(x)=x3/(x-8)
    =x(x²/(1-(8/x)))
lim x²=+oo       lim (1-(8/x))= 1
x->+oo           x->+oo
lim f(x)=+oo

C'est ça ?

b.lim x-8=0 Effectivement. Ce n'était qu'une erreur de frappe.
  x->8

2)a. Je propose de factoriser par x (?)
f'(x)= 2x3-24x2 / (x-8)²
     = x²(2x-24)/(x-8)

x² s'anule en 0;
2x-24=0 <=> x=12;
(x-8)²=0 <=> x²-16x+64=0;
\delta=b²-4ac=256-256=0
x=-b/2a=16/2=8

Tableau de variations :

x           8         12        20
x²(2x-24)   0     -         +
(x-8)²      ||    +         +
f              décroit     croit
(J'espère que mon tableau est assez clair.)

La fonction f est croissante sur ]8;12].
La fonction f est décroissante sur [12;+oo[.

Est-ce juste ?

Posté par
mdr_nonre : Etude de fonction 03-08-11 à 08:00

1.a) oui

\huge f(x) = \frac{x^3}{x - 8} = \frac{x^3}{x\left(1 - \frac{8}{x}\right)} = \boxed{\frac{x^2}{1 - \frac{8}{x}}}

mais en appliquant mon théorème :

le plus terme de plus haut degré au numérateur est  \huge \boxed{x^3}

_______________________      au dénominateur est  \huge \boxed{x}

donc   \huge \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x} = {\red \boxed{\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty}}




1.b) ok ..




2.a) on pouvait faire mieux que x² ...  mettre  2x² en facteur


\huge f'(x) = \frac{2x^3 - 24x^2}{(x - 8)^2} = \boxed{\frac{2x^2(x - 12)}{(x - 8)^2}}


2.b) tu cherchais le signe du dénominateur ?    ce n'est pas nécessaire ..

tu  dois  savoir  qu'\Large \red \boxed{ \rm un  carré  est  toujours  POSITIF}} !
  
donc,   \Large \forall  x > 8 , (x - 8)^2 > 0      ET      \Large \forall  x > , 2x^2 > 0


\Large \boxed{\rm DONC   le  signe  de  f'(x)  est  celui  de   x - 12}

(puisque tout ses autres facteurs sont POSITIFS)

Etude de fonction


tu peux remarquer que je n'ai pas mis une double barre en dessous de 8.

car la ligne du tableau c'est déjà une barre ! donc en ajouter 2 , ça ferait 3

Posté par
Claiiirere : Etude de fonction 05-08-11 à 10:51

Merci à tous !

Posté par
Claiiirere : Etude de fonction 05-08-11 à 10:53

J'ai une question sur la suite de cet exercice, je peux la poser ici ou dois-je créer un nouveau topic ?

Posté par
Manu04re : Etude de fonction 05-08-11 à 11:08

Je pense que tu peux continuer ici si c'est le même exercice.

Posté par
Claiiirere : Etude de fonction 06-08-11 à 19:37

La suite du problème et l'application de cette étude de fonction à une optimisation de volume.
1. Modélisation
a. Quel est l'ensemble des valeurs possibles ?
Ensemble de x : [8;20]

b. Exprimer h en fonction de x en s'aidant de la figure.
D'après la définition de l'air d'un triangle : A=(base x hauteur)/2 où base= et hauteur=h donc
h=(2 x A)/2

c. On note V(x) le volume de la pyramide. Montrer que V(x).
Je ne sais pas répondre à cette question. J'ai commencé par dire que le volume de cette pyramide est
V(x)=(1/3)x² x h.

Etude de fonction


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