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Etude de fonction

Posté par
ahl1700 19-06-16 à 17:26

Bonjour à tous et vous remercie du temps que vous m'accorderez.

Soit la fonction g:xg(x) dont une primitive est donnée par:

G(x)=\frac{-x^2}{2} +ax-4ln|x-1| où a
telle que g(2)=0

1)Calculer g(x) et montrer que a=6
g(x)=-x+a-\frac{4}{x-1}
g(2)=-2+a-\frac{4}{2-1}
a=6
donc g(x)=-x+6-\frac{4}{x-1}

2)Calculer les coordonnées des extrema
g'(x)=\frac{4}{(x-1)^2}-1\frac{-x^2+2x+3}{(x-1)^2}

de -x^2+2x+3=2^2-4*(-1)*3=16
x_1=3  et  x_2=-1
Les extrema seront atteints en x=-1 et y=9
et en x=3 et y =1

3) Monter que le graphe g ne coupe pas les droite d'équation y=6-x.
\frac{-x^2+7x-10}{x-1} -(6-x)
=\frac{-x^2+7x-10+x^2-7x+6}{x-1}
=\frac{-4}{x-1}

\lim_{x\to +\infty} \frac{-4}{x-1}=0
\lim_{x\to -\infty} \frac{-4}{x-1}=0

y=6-x est asymptote oblique à la courbe g elle ne peut donc pas la couper.

4) Calculer l'aire géométrique du domaine limité par:
-le graphe de g
-la droite y=6-x
-la droite x=-4
-l'axe Ox
C'est bête mais je n'arrive pas à placer x=-4 du coup je sais pas quelles bornes choisir pou les intégrales, j'essaye sur geogebra mais je ne sais pas le manipulé pouvez vous m'aider et me dire si ce que j'ai fait est correct. Merci à vous.

Posté par
malou Webmasterre : Etude de fonction 19-06-16 à 17:43

bonjour
tu es sûr que le dernier ce serait pas plutôt l'axe Oy ?...

Posté par
ahl1700re : Etude de fonction 19-06-16 à 17:46

Bonjour MaLou
oui excuse moi c'est l'axe Oy

Posté par
malou Webmasterre : Etude de fonction 19-06-16 à 17:47

donc c'est ça : (en couleur)

Etude de fonction

Posté par
ahl1700re : Etude de fonction 19-06-16 à 17:53

Donc
\int_4^{0} g(x) dx

Posté par
malou Webmasterre : Etude de fonction 19-06-16 à 17:57

non, pour deux raisons

c'est entre -4 et 0 (et non entre 4 et 0)

et tu dois intégrer la différence entre g(x) et (-x+6) (puisque tu ne descends pas jusqu'à l'axe des abscisses), mais seulement jusque ton asymptote

c'est donc \displaystyle{\int_{-4}^0 g(x)-(-x+6)\text{d}x

Posté par
ahl1700re : Etude de fonction 19-06-16 à 17:57

Erreur de frappe
Donc les bonnes pour g(x) seront e -4 à 0
de même pour 6-x
au résultat de g(x) je soustrais le résultat de 6-x
Le mode opératoire serait celui là?

Posté par
malou Webmasterre : Etude de fonction 19-06-16 à 17:58

ok, messages croisés
regarde au dessus

Posté par
ahl1700re : Etude de fonction 19-06-16 à 18:00

Ok cool et pour le reste c'était ok?
au niveau de la présentation  et de la formulation.

Posté par
malou Webmasterre : Etude de fonction 19-06-16 à 18:05

[quote]y=6-x est asymptote oblique à la courbe g elle ne peut donc pas la couper. [/quoteça, c'est faux
une courbe peut couper son asymptote
pour montrer que ça ne coupe pas tu dois démontrer que la différence \frac{-4}{x-1} ne s'annule pas, ce qui est le cas, car -4 ne peut pas s'annuler

sinon, le reste me semble Ok

Posté par
ahl1700re : Etude de fonction 19-06-16 à 18:14

Cela veut dire, quoi je ne suis pas sûre de comprendre, si le résultat de la différence s'annulerai cela voudrais dire que les deux fonctions sont égales ou qu'elles se croisent à un moment donné?

Posté par
malou Webmasterre : Etude de fonction 19-06-16 à 18:15

oui, bien sûr !

Posté par
malou Webmasterre : Etude de fonction 19-06-16 à 18:19

en voilà un exemple
avec dans la fenêtre de gauche les fonctions tapées

Etude de fonction

Posté par
ahl1700re : Etude de fonction 19-06-16 à 18:19

Mais elle peuvent ne pas être égales et se croiser sur un point? J'essaye de comprendre donc en quoi le fait que la différence ne s'annule pas prouve le fait qu'elles ne se coupent pas?

Posté par
malou Webmasterre : Etude de fonction 19-06-16 à 18:23

je t'ai fait un agrandissement de ta courbe et de son asymptote
Etude de fonction
en réalité quand tu calcules g(x)-(-x+6), tu calcules y_M-y_P
la courbe coupe l'asymptote uniquement si cette différence peut-être égale à 0

Posté par
ahl1700re : Etude de fonction 19-06-16 à 18:26

Ok c'est plus claire maintenant
Grâce à vous je vais de plus en plus vite merci pour cette éclaircissement comme d''habitude  c'est super,un grand merci Malou à très bientôt

Posté par
malou Webmasterre : Etude de fonction 19-06-16 à 18:28

super ! quand tu veux !

Posté par
ahl1700re : Etude de fonction 19-06-16 à 18:34

Posté par
ahl1700re : Etude de fonction 20-06-16 à 00:08

Juste pour le plaisir: on à déjà calculé g(x)-(6-x)=\frac{-4}{x-1}

\int_{-4}^{0} \frac{-4}{x-1} dx
=ln(625)6,438

Posté par
malou Webmasterre : Etude de fonction 20-06-16 à 08:25

dans un calcul d'aire il y a 3 choses :
le rangement des bornes, là OK, -4 < 0
la positivité de la fonction que tu intègres ; là OK, la courbe est au dessus de son asymptote, donc tu calcules g(x)-(-x+6)
et il reste à ne pas oublier les unités...quand il n'y en a pas dans l'énoncé, on dit u.a (qui veut dire unité d'aire)

donc \mathxal{A}\approx 6,438 u.a

Posté par
ahl1700re : Etude de fonction 20-06-16 à 15:11

Pourquoi la positivité de la fonction est-elle importante?

Posté par
malou Webmasterre : Etude de fonction 20-06-16 à 15:16

ben l'aire n'est calculée ainsi que pour une fct positive
si tu intègres une fct négative, tu trouves l'opposée de l'aire géométrique


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