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Étude de fonction

Posté par
julien89a
01-03-19 à 17:28

Bonjour,
Je ne comprend pas le sens de la deuxième partie de la question 1 de l'exercice suivant :

Énoncé:
Soit f la fonction définie sur par f(x)=e^{-x²}.
1) Comparer f(-x) et f(x). Que peut-on en déduire pour la courbe de f en terme de symétrie ?

Voici ce que j'ai fait:
f(x)=e^{-x²}
f(-x)=e^{x²}
Après je ne comprend pas ce qu'ils attendent au niveau de la symétrie... J'ai pensé "par rapport à quoi les deux fonctions sont-elles symétriques". Si c'est cela, elles sont symétriques par rapport au point d'ordonnée 1 des deux fonctions...

J'ai tracé les deux fonctions:

Merci d'avance.

Étude de fonction

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 17:30

Bonjour,

Ton f(-x) est faux.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 17:35

Ce n'est pas : f(-x)=-e^{x²} ?

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 17:37

Non, il faut remplacer x par -x, donc f(-x)= e^{-(-x)^2}=...

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 17:40

Ah d'accord ! je me suis compliqué la tâche .
Donc f(-x)=e.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 17:41

Mais c'est ce que j'avais trouvé au début !?

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 17:44

Non, tu te trompes encore.

Quand on change x en -x,  x^2 se change en (-x)^2=x^2.

Par conséquent, f reste inchangée f(-x)= e^{-x^2}=f(x)

f est une fonction paire.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 17:47

Ah oui il y a le ² !

Et donc, pour la deuxième partie de la question il faut dire qu'il n'y a pas de symétrie puisqu'elles sont identiques ?

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 17:49

Ah que si, justement, il y en a une de symétrie.

Que peut-on dire de 2 points du plan qui ont des abscisses opposées et même ordonnée ?

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 17:56

"Abscisses opposées" cela veut dire par exemple : A(1;0) et B(-1;0). C'est cela ?

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 17:57

Parce que je ne vois pas du tout

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 17:59

Oui, par exemple.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:03

Ils sont symétriques par rapport à l'origine du repère ? C'est une symétrie axiale ?

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:07

Si au lieu de prendre des ordonnées nulles on prend A(-1, 3) et B(1, 3) , A et B sont encore symétriques par rapport à l'axe des y. On a donc bien une symétrie axiale.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:12

D'accord, donc du coup, c'est une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées pour la question 1. C'est bien cela ?

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:14

Oui. Il suffit donc d'étudier la fonction sur [0, +\infty[ puis de faire une symétrie par rapport à Oy

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:18

Quand vous dites étudier la fonction c'est les variations et les limites ?

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:32

Oui, j'imagine que c'est la suite de l'exercice. ??

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:37

oui, c'est la deuxième question de l'exercice. Je l'ai faite et je trouve le tableau suivant :

Étude de fonction

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:39

Après ils demandent la limite en +. Je sais qu'elle vaut 1 par lecture graphique. Cependant, j'ai essayé de détailler les étape de la limite mais je n'y arrive pas. Je ne sais pas si il faut faire une limite composée ou alors prendre le terme de plus haut degrés. Mais en faisant tout cela je n'arrive pas à 1.

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:40

Il faut mettre les limites de f en + et - l'infini.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:44

Mais si on regarde le graphique de la fonction, on remarque que c'est 0 la limite en + et en -...

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:44

La courbe représentative c'est la courbe rouge de 17:28. Tu crois que la limite en + est 1 ?

Quelle est la limite de e^{-u} quand u tend vers + ? C'est du cours.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:47

Oui je me suis trompé.. je m'en suis rendu compte quand j'ai fait poster.
Par lecture graphique, on voit que, en + et -, la limite c'est +.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 18:52

Mais je ne vois pas comment détailler la limite.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 19:07

C'est la question n°3 où ils demandent seulement la limite en +.

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 19:09

Quand u +, e^u aussi. C'est sûrement dans le cours.
e^{-u}, c'est l'inverse, donc ça va tendre vers 0.

Ici quand x\to +\infty,   -x^2\to -\infty, donc    e^{-x^2}\to 0

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 19:14

D'accord ! Merci beaucoup !

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 19:24

J'ai une question pour une autre question de l'exercice. Elle intervient après la question sur la limite de f en +. La voici:
Q4: On considère un réel x entre 0 et 1.
En partant des inégalités 0x, déterminer un encadrement de entre 0 et 1 de f(x)dx.

Je ne vois pas du tout comment commencer la résolution de cette question.
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 19:35

Commencer par voir ce que donne l'inégalité quand on change les signes.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 19:45

Cela fait:
0x
0(-x)²-x
0x-x

C'est bien cela ? Le sens de l'inégalité ne change pas ?

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 01-03-19 à 19:56

Si les sens des inégalités changent ! 0x2, devient -x20

Revois ça. Je reviens plus tard.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 01-03-19 à 20:00

D'accord, merci et bonne soirée à vous.
Je reviens demain.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 02-03-19 à 10:34

Donc, l'inégalité est :

0x^2x
0(-x)2-x
0x-x

C'est bien cela ?

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 02-03-19 à 11:10

Non.

Au milieu ce n'est pas (-x)2 (qui en plus serait positif !), mais -x2 qui est bien négatif.
Quant à la dernière c'est archi-faux.

On retient -x-x20 pour x[0 ,1[

Maintenant il faut passer aux exponentielles et voir dans quel ordre elles se placent.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 02-03-19 à 13:23

D'accord, donc l'inégalité est : -x\leq -x^2\leq 0

Ensuite, avec l'exponentielle :
e^{-x}\leq e^{-x^2}\leq e^0
e^{-×}\leq e^{-×^2}\leq 1
ln(e^{-x})\leq ln(e^{-x^2})\leq ln(1)
-x\leq -x^2\leq 0

Mais je ne sais pas si il faut faire avec ln puisqu'on retrouve la même chose.

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 02-03-19 à 13:59

Non, ça ne sert à rien de repasser aux logs. On en reste à

e^{-×}\leq e^{-×^2}\leq 1

Les intégrales entre 0 et 1 des fonctions indiquées seront classées dans le même ordre, ce qui va donner un encadrement de celle du milieu

\int_0^1e^{-×}dx\leq \int_0^1e^{-×^2}dx\leq \int_0^1dx

Il n'y a plus qu'à calculer les deux extrêmes.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 02-03-19 à 14:21

La primitive de f(x) c'est bien : F(x)=f(x) puisque c'est une fonction exponentielle ?

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 02-03-19 à 15:03

Déjà, ce ne serait qu' UNE primitive, ensuite pour vérifier, il suffit de dériver e^{-x^2}.

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 02-03-19 à 15:34

Donc:
\int_{0}^{1}{e^-^x}= F(x) = e^-^x. 
 \\ Donc   F(1)-F(0)=e^-^1-e^{0}=-0,63.

Et :
\int_{0}^{1}dx= F(x) = e^{-x^2}. 
 \\ Donc   F(1)-F(0)=e^{(-1)^2}-e^{0}=-0,86.

Enfin:
-0,63\leq \int_{0}^{1}{e^{-x^2}dx}\leq -0,86.

Est ce bien cela ?

Posté par
larrech
re : Étude de fonction 02-03-19 à 15:55

Il faut revoir tout ça !

e^{-x^2} est positif pour tout x. e^{-x} aussi . Leurs intégrales prises entre 0 et 1 ne peuvent pas être négatives.

\int_{0}^{1}{e^{-x}} dx= [{\red{-}}e^{-x}]_0^1=\dfrac{e-1}{e}\approxeq 0,63 .

\int_{0}^{1} dx=[{\red{x}}]_0^1=1

Celle du milieu ne peut pas se calculer au moyen de primitives de fonctions usuelles. On en reste donc à

\dfrac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2}dx < 1

Posté par
julien89a
re : Étude de fonction 02-03-19 à 20:32

D'accord, merci à vous
Bonne soirée



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