Bonjour
On considéré la fonction numérique f définie sur R par
f(x)=2x+1-xe^(x-1)
On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal (o,i,j).
A/étude de la fonction f et construction de la courbe (C).
1/étudier la limite de la fonction f en - infini puis en + infini (on pourra écrire xe^(x-1)=1/e*(xe^(x))
2/démontrer que la droite ∆ d équation y=2x+1 est asymptote a la courbe (C) en - infini et préciser la position de la courbe (C) par rapport a la droite ∆.
3a/calculer la dérivée f' et la dérivée f'' de la fonction f.

b/dresser le table de variation de la fonction f' en précisant les limites de la fonction f' en - infini et en + infini.

C/calculer f'(1) et en déduire le signe de f'(x) pour tout réel x.
d/dresser le tableau de variation de f'(x)
4/soit i l intervalle [1,9,2] .démontrer sur l intervalle l équation f(x)=0 a une solution unique a.
5/tracer la droite ∆ et la courbe (C).
B/recherche d une approximation de a.
On considéré la fonction g définie sur l intervalle i par :
g(x)=1+ln(2+1/(x))
1/démontrer que, sur i, l équation f(x)=0 équivaut a l équation g(x)=x
2/étudier le sens de variation de la fonction g sur i, et démontrer que, pour tout x appartenant a i, g(x) appartient a i.
3/démontrer que, pour tout x de l intervalle i,
|g'(x)|<=1/9
4/soit (Un) la suite des nombres réels definie par
Uo=2 et pour tout n de N, Un+1=g(Un)
On déduit de la question B2). Que tous les termes de cette suite appartiennent a l intervalle i.on ne demande pas de le démontrer.
a/démontrer que, pour tout n de N
|Un+1-a|<=1/9|Un-a|
b/en déduire, en raisonnant par récurrence ,que ; pour tout n de N.
|Un-a|<=1/9*(1/9)^n*(1/10)

C/en déduire que la suite Un converge et préciser sa limite.

Réponse

Question 1A
f(x)=2x+1-(xe^(x)/e)
La limite en - infini

Lim f(x)=lim 2x+1-(xe^(x)/e)
Lim 2x+1=- infini et lim xe^(x)=0
Donc lim f(x)=-infini

La limite en + infini.
Lim f(x)=lim x(2+1/x-e^(x)/e)
Lim x =+ infini et lim (2+1/x-(e^(x))/e)=-infini
Lim f(x)=- infini

Question 2
f(x)-(2x+1)=-xe^(x-1)=(-xe^(x)/e)
La limite en - infini

Lim f(x)-(2x+1)=lim (-xe^(x))/e
Lim f(x)-(2x+1)=0
D ou la droite ∆ d équation y=2x+1 est asymptote a la courbe en - infini.

f(x)-(2x+1)=-xe^(x-1)

Pour tout nombre réel R, e^(x-1)>0 ,le signe de f(x)-(2x+1) dépend de -x
Pour tout x appartenant ]- infini,0[ ,f(x)-(2x+1)>0 ,donc f(x)>(2x+1)
D où la courbe C est au dessus de la droite ∆.
Pour tout x appartenant ]0,+infini[, f(x)-(2x+1)<0
Donc f(x)<(2x+1).
Finalement la courbe c est en dessous de la droite (∆).

Question 3
f'(x)=e^(x-1)[x+2]
Étudions le signe de la dérivée f''.
Pour tout réel x appartenant R, e^(x-1)>0, le signe est donc du signe x+2
Pour x appartenant ]-infini,2[ ,f''(x)<0, donc f' est strictement décroissant.
Pour x appartenant ]-2,+infini[, f''(x)> . Donc f' est strictement croissant.
La limite en + infini de f'
Lim f'(x)=+ infini
La limite en - infini de f'

Lim f'(x)=2
Question c
f'(1)=2-e°-e°=0

En déduire le signe de f'(x) pour tout réel x.
J ai besoin d aider