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Étude de fonction

Posté par
Samsco 08-12-20 à 19:49

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice :

Soit f une application de ]0~;~+\infty[ dans ]0~;~+\infty[ vérifiant les conditions numérotée (1) , (2) et (3) ci après :

(1) f est dérivable en 1
(2) \forall x,y\in ]0~;~+\infty[~f(xy)=f(x)f(y)

1. Établir que f(1)=1
2. Soit a \in ]0~;~+\infty[ et k un nombre réel tel que k+a \in ]0~;~+\infty[

a) Prouver que :
f(a+k)-f(a)=f(a)[f(1+\dfrac{k}{a})-f(1)]

b) En déduire que f est dérivable en tout point a de ]0~;~+\infty[ et que \forall x \in ]0~;~+\infty[~,~\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{f'(1)}{x}

c) Quel est le sens de variation de f lorsque f'(1)=0 ?

d) Justifier que si f'(1)≠0 alors f est strictement monotone sur ]0~;~+\infty[


Réponses :

1) Établir que f(1)=1

\forall x \in ]0~;~+\infty[~,f(xy)=f(x)f(y)
f(1×1)=f(1)×f(1)
=> f(1)-f²(1)=0
=> f(1)[1-f(1)]=0
=> f(1)=0 ou f(1)=1
0 \notin ]0~;~+\infty[ donc f(1)=1

2-a)
\forall a>0~,~f(a+k)-f(a)=f\left[a(1+\dfrac{k}{a})\right]-f(a) \\ \\ =f(a)×f\left(1+\dfrac{k}{a}\right)-f(a) \\ \\ =f(a)\left[f\left(1+\dfrac{k}{a}\right)-1\right] \\ \\ f(a+k)-f(a)=f(a)\left[f\left(1+\dfrac{k}{a}\right)-f(1)\right]

Je bloque à la question 2-b)

Posté par
Samscore : Étude de fonction 08-12-20 à 20:19

2-b) Je crois qu'il s'agit de démontrer que la limite de [f(x)-f(a)]/(x-a) est finie.

Posté par
carpediemre : Étude de fonction 08-12-20 à 20:38

salut

1/ dernière ligne : écrire plutôt or f(1) > 0 par hypothèse donc ...

parce que 0 \notin ]0, + \infty[ ok mais on ne voit pas le rapport avec l'exo ...

2/ ok

3/  f(a + k) - f(a) = f(a) \left[ f\left( a + \dfrac k a \right) - f(1) \right] \iff \dfrac {f(a + k) - f(a)} k = \dfrac {f(a)} a \dfrac {f\left( 1 + \dfrac k a \right) - f(1)}{\dfrac k a}

Posté par
valdo97re : Étude de fonction 08-12-20 à 20:44

Pour la dériver , il faut utiliser la forme (f(a+h)-f(a))/h quand h tend vers 0
concernant la deuxième partie f(1)=f(x/x) puis tu en déduis f(1/x) et tu termines en dérivant partiellement f(xy)=f(x)f(y)
bonne continuation

Posté par
Samscore : Étude de fonction 08-12-20 à 21:03

Citation :
salut
1/ dernière ligne : écrire plutôt or f(1) > 0 par hypothèse donc ...

parce que 0 \notin ]0, + \infty[ ok mais on ne voit pas le rapport avec l'exo ...f est une application de ]0 ; +[ dans ]0 ; +[

Posté par
Samscore : Étude de fonction 08-12-20 à 21:15


3/  f(a + k) - f(a) = f(a) \left[ f\left( a + \dfrac k a \right) - f(1) \right] \iff \dfrac {f(a + k) - f(a)} k = \dfrac {f(a)} a \dfrac {f\left( 1 + \dfrac k a \right) - f(1)}{\dfrac k a} \\

Posons K=k/a , Quand k-> 0 , K->0

\lim_{k \to 0}\dfrac{f(a+k)-f(a)}{k}=\lim{K\to 0}\dfrac{f(a)}{a}\dfrac{f(1+K)-f(1)}{K} \\ \\ \lim_{k \to 0}\dfrac{f(a+k)-f(a)}{k}=f'(1)\dfrac{f(a)}{a}

f'(1)×f(a)/a > 0

Donc f est dérivable en tout point a de ]0~;~+\infty[

Posté par
carpediemre : Étude de fonction 08-12-20 à 23:34

inutile e faire un changement de variable ...

quand k --> 0 : k/a --> 0

donc par définition et hypothèse d'énoncé le second membre tend vers f'(1) * f(a)/a

donc par définition f est dérivable en a et f'(a) = f'(1) * f(a)/a


je ne vois pas l'intérêt du msg de 21h03 ...

Posté par
Samscore : Étude de fonction 09-12-20 à 16:35

carpediem @ 08-12-2020 à 23:34

je ne vois pas l'intérêt du msg de 21h03 ...


f est un application de ]0 ; +[ dans ]0 ; +[ , ça veut dire que les valeurs de x sont choisies dans ]0 ; +[ et leurs images se trouvent dans ] 0 ; +[ non?

Posté par
Samscore : Étude de fonction 09-12-20 à 16:47

la fonction f est dérivable en tout point a de ]0 ; +[ et

f'(a)=f'(1)\dfrac{f(a)}{a}

Donc \forall x \in ]0~;~+\infty[~f'(x)=f'(1)\dfrac{f(x)}{x} \\ \\ \iff  \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{f'(1)}{x}

c) Si f'(1)=0 , f'(x)=0
Donc f est constante sur ]0 ; +[

d) \forall x>0~, f'(x)=\dfrac{f(x)}{x}f'(1) \\
Pour tout x>0 , f(x)/x >0 donc  le signe de f'(x) est celui de f'(1)

Si f'(1)>0 , f'(x)>0 , f est strictement croissante croissante sur ]0 ; +[
Si f'(1)<0 , f'(x)<0 , f est strictement décroissante sur]0 ; +[

Posté par
carpediemre : Étude de fonction 09-12-20 à 17:10

16h35 : certes oui mais c'est cel qui fait le lien avec la conclusion de 1/ !!

ok pour la suite ...

Posté par
Samscore : Étude de fonction 09-12-20 à 17:21

carpediem @ 09-12-2020 à 17:10

c'est cel qui fait le lien avec la conclusion de 1/ !!


Je n'ai pas compris ce que vous voulez dire .

Posté par
carpediemre : Étude de fonction 09-12-20 à 17:41

on se fout que 0 n'appartienne pas à ]0, +oo[ puisque cette une vérité : cet argument doit faire le lien avec une hypothèse de l'énoncé !!!

Posté par
carpediemre : Étude de fonction 09-12-20 à 17:41

c'est une !!!!

Posté par
Samscore : Étude de fonction 09-12-20 à 17:54

D'accord , j'ai compris merci !

Posté par
carpediemre : Étude de fonction 09-12-20 à 18:49

de rien


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