Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.
Exercice :
Soit f une application de dans vérifiant les conditions numérotée (1) , (2) et (3) ci après :
(1) f est dérivable en 1
(2)
1. Établir que f(1)=1
2. Soit et k un nombre réel tel que
a) Prouver que :
b) En déduire que f est dérivable en tout point a de et que
c) Quel est le sens de variation de f lorsque f'(1)=0 ?
d) Justifier que si f'(1)≠0 alors f est strictement monotone sur
Réponses :
1) Établir que f(1)=1
f(xy)=f(x)f(y)
f(1×1)=f(1)×f(1)
=> f(1)-f²(1)=0
=> f(1)[1-f(1)]=0
=> f(1)=0 ou f(1)=1
donc f(1)=1
2-a)
Je bloque à la question 2-b)
salut
1/ dernière ligne : écrire plutôt or f(1) > 0 par hypothèse donc ...
parce que ok mais on ne voit pas le rapport avec l'exo ...
2/ ok
3/
Pour la dériver , il faut utiliser la forme (f(a+h)-f(a))/h quand h tend vers 0
concernant la deuxième partie f(1)=f(x/x) puis tu en déduis f(1/x) et tu termines en dérivant partiellement f(xy)=f(x)f(y)
bonne continuation
inutile e faire un changement de variable ...
quand k --> 0 : k/a --> 0
donc par définition et hypothèse d'énoncé le second membre tend vers f'(1) * f(a)/a
donc par définition f est dérivable en a et f'(a) = f'(1) * f(a)/a
je ne vois pas l'intérêt du msg de 21h03 ...
la fonction f est dérivable en tout point a de ]0 ; +[ et
Donc
c) Si f'(1)=0 , f'(x)=0
Donc f est constante sur ]0 ; +[
d)
Pour tout x>0 , f(x)/x >0 donc le signe de f'(x) est celui de f'(1)
Si f'(1)>0 , f'(x)>0 , f est strictement croissante croissante sur ]0 ; +[
Si f'(1)<0 , f'(x)<0 , f est strictement décroissante sur]0 ; +[
on se fout que 0 n'appartienne pas à ]0, +oo[ puisque cette une vérité : cet argument doit faire le lien avec une hypothèse de l'énoncé !!!
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