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Niveau terminale
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Etude de fonction

Posté par
Emilie38n
22-09-22 à 11:37

Bonjour,

je m'appelle Emilie et je suis actuellement en classe de Terminale Générale et je dois rendre un DM de maths pour lundi. J'aimerai avoir un peu d'aide pour ce que je n'ai pas réussi à faire et voir si quelqu'un pourrait me confirmer ce que j'ai fait.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonne journée

Une entreprise pharmaceutique peut produire entre 200 et 2000 litres d'un soin antipelliculaire par semaine.
Le résultat hebdomadaire de l'entreprise en dizaine de milliers d'euros (bénéfice ou déficit) réalisé pour la production et la vente de x centaines de litres de ce soin est donné par

B(x)=(5x-30)\text{e}^{-0.25x}

1 )          a) expliquer pourquoi la fonction B est définie sur [2 ;20]
b) calculer le résultat, à un euro près, réalisé par la fabrication et la vente de 500 litres de soin.

2)            a) Construire le tableau de signe de B sur [2 ;20]
                b) quel volume de soin l'entreprise doit elle produire et vendre pour réaliser un bénéfice ?


3)            a) Calculer B'(x)
                b) Dans un tableau, étudier le signe de B'(x) puis en déduire les variations de B
                c) Quel volume de soin l'entreprise doit elle produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Donner, à un euro près, ce bénéfice maximal.

1 )          a)
?

b)
B(500)=(5*500-30)\text{e}^{-0.25*500} = 2470\text{e}^{-125}
Est-ce bien ce qu'il faut calculer ?

2) a)
5x-30=0 ->5x=30 -> x=30/5=6

\text{e}^{-0.25x} -> toujours positif

Voir tableau de signe en image attachée

2) b)
La fonction devient positive à partir de 6 soit 600L

3) a)
B(x)=(5x-30)\text{e}^{-0.25x}
f=uv donc f'= u'v+uv' avec
u= 5x-30            u'= 5
v= \text{e}^{-0.25x}           v'= -0,25\text{e}^{-0.25x}

B'(x) = 5\text{e}^{-0.25x}+(5x-30 )(-0.25\text{e}^{-0.25x})
=\text{e}^{-0.25x}(5-0,25(5x-30))

= \text{e}^{-0.25x}(5-1,25x+7,5)

= \text{e}^{-0.25x}(12,5-1,25x)

donc on a B(x)=(5x-30)\text{e}^{-0.25x}  et
B'(x)= \text{e}^{-0.25x}(12,5-1,25x)

\text{e}^{-0.25x} est toujours positif

12,5-1,25x=0 -> -1,25x=-12,5 -> x= 12,5/1,25=10

3) b)  
Voir tableau de variation en image attachée

3) c)
?


Etude de fonction

Etude de fonction

Posté par
hekla
re : Etude de fonction 22-09-22 à 11:43

Bonjour

vous n'avez pas tenu compte de cela  

a) traduisez  la capacité de fabrication

b) on cherche pour 500 litres soit  centaines de litres

signe de B oui

Posté par
hekla
re : Etude de fonction 22-09-22 à 11:47

la production et la vente de x centaines de litres

oubli

Posté par
hekla
re : Etude de fonction 22-09-22 à 11:48

c) Quel est le maximum de B  ?

Posté par
Emilie38n
re : Etude de fonction 22-09-22 à 12:26

hekla @ 22-09-2022 à 11:43

Bonjour

vous n'avez pas tenu compte de cela  

a) traduisez  la capacité de fabrication

b) on cherche pour 500 litres soit  centaines de litres

signe de B oui


Bonjour et merci pour vos réponses.

Je pense que je viens de comprendre !

a) traduisez  la capacité de fabrication
Si x s'exprime en centaines de litres, la fonction est bien définie entre 2 centaines et 20 centaines donc sur [2; 20]

b) on cherche pour 500 litres soit  5 centaines de litres
B(5)=(5*5-30)\text{e}^{-0.25*5}
= -5\text{e}^{-1,25}
= 0.2387
Le bénéfice réalisé par la fabrication et la vente de 500 litres de soin est de 24€

Est-ce exact ?

Merci encore

Posté par
hekla
re : Etude de fonction 22-09-22 à 12:34

Revoir le calcul pour 5

Vu la suite du problème où vous dites que le bénéfice est positif au-dessus de 600 litres, il y a forcément une erreur.

Posté par
Emilie38n
re : Etude de fonction 22-09-22 à 13:13

Oups effectivement

-5\text{e}^{-1,25}= -1,4325

Le résultat de la fabrication de 500L est donc un déficit de 143€

Correct ?  
Merci 🙂

Posté par
hekla
re : Etude de fonction 22-09-22 à 13:22

Non, car vous ne faites pas attention au texte.

Citation :
en dizaine de milliers d'euros (bénéfice ou déficit)

Posté par
Emilie38n
re : Etude de fonction 22-09-22 à 13:36

oh la la mais quelle tête en l'air je suis !

Le résultat de la fabrication de 500L est de -14325€ (déficit)

Cette fois, je pense que j'ai juste

Posté par
hekla
re : Etude de fonction 22-09-22 à 13:40

Bien

Posté par
Emilie38n
re : Etude de fonction 22-09-22 à 15:21

3)        c) Quel volume de soin l'entreprise doit elle produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Donner, à un euro près, ce bénéfice maximal.

La fonction B est croissante sur [2;10] et décroissante sur [10;20].

Le bénéfice maximal est donc obtenu pour  x=10 soit pour une quantité produite et vendue égale à 10x100 = 1 000 litres.

B(10)=(5*10-30)\text{e}^{-0.25*10}
=(20)\text{e}^{-2.5}= 1.6417

Le bénéfice maximal s'élève à 16417€ pour 1000L

Je pense avoir répondu à la question 3c.

Merci pour votre confirmation

Posté par
hekla
re : Etude de fonction 22-09-22 à 15:28

J'aurais mis

La fonction B étant croissante sur [2;10] et décroissante sur [10;20], elle admet un maximum en 10.

votre suite

Posté par
Emilie38n
re : Etude de fonction 22-09-22 à 15:30

effectivement, encore un oubli de ma part !

En tout cas, merci beaucoup pour le temps que vous m'avez accordé.

Très bonne après midi

Posté par
hekla
re : Etude de fonction 22-09-22 à 15:33

Bon après midi

De rien  



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