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Étude de fonction
Bonsoir à vous
Svp j'ai besoin sur cet exercice
Soit 𝑓 la fonction définie sur ]0; +∞[
par : {
𝑓(0) = 0
𝑓(𝑥) =
𝑥
1+𝑥𝑙𝑛𝑥
On note (C) la courbe représentative de 𝑓 dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
(Unité graphique : 4 cm).
1. a) Etudier la continuité de 𝑓 en 0.
b) Etudier la dérivabilité de 𝑓 en 0.
c) Démontrer qu'une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point O est : 𝑦 = 𝑥.
d) Démontrer que : (C) est au - dessus de (T) sur ]0; 1[ et (C) est en dessous de (T) sur ]1; +∞[ .
2. Démontrer que la droite (OI) est une asymptote à (C) en +∞.
3. On suppose que 𝑓 est dérivable sur ]0; +∞[ .
a) Démontrer que : ∀𝑥 ∈ ]0; +∞[ , 𝑓′(𝑥) =
1−𝑥
(1+𝑥𝑙𝑛𝑥)2
b) En déduire les variations de 𝑓 et dresser son tableau de variation.
4. Construire la droite (T) et la courbe (C) dans le plan muni du repère (O, I, J).
5. a) Justifier que : ∀𝑥 ∈ ]0; +∞[ , 𝑓(𝑥) ≤ 1.
b) Démontrer que : ∀𝑥 ∈ [1;𝑒],
1 −(1/1+𝑥)≤ 𝑓(𝑥).
6. Soit A l'aire en 𝑐𝑚2 de la partie du plan délimitée par (C), (OI) et les droites d'équations 𝑥 = 1 et 𝑥 = 𝑒.
Démontrer que : 16(𝑒 − 1) + 16𝑙𝑛 (
2/1+𝑒) ≤ 𝐴 ≤ 16(𝑒 − 1).
Pour avoir l'équation de la tangente je dois dérivés la fonction alors que dans la suite de l'exercice on demande la dérivé de la fonction f
Bonjour,
écriture illisible
on ne dessine pas des formules en en écrivant des bouts sur des lignes successives.
la FAQ du forum
LaTeXen tout cas , la question 1c est la conséquence immédiate de la 1b
dans la 1b, étudier le dérivabilité c'est déterminer si
cette imite serait alors f'(0) sans avoir besoin de dériver pour tout x
sans avoir besoin d'utiliser prématurément un résultat d'une question suivante, surtout si ce résultat n'est pas défini quand x vaut 0 !!
(sur ]0 +inf[ !)
Donc quand je finis de calculer la dérivabilité de f le résultat obtenu va permettre de conclure directement
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