Attention:

f '(x) = -(e^x)/[(e^x) -1)]² et pas ce que tu as écrit.

f '(x) < 0 sur R* -> f(x) est décroissante sur R* (Attention f(x) n'existe pas en x = 0)
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f(x) = e^x/[e^x(1 - 1/(e^x))] = 1/(1 - (1/e^x))

lim (x-> +oo) f(x) = lim (x-> +oo) [1/(1 - (1/e^x))] = 1/(1+0) = 1

lim (x-> -oo) f(x) = lim(x-> -oo) [(e^x)/[(e^x)-1]] = 0/(0-1) = 0

lim (x-> 0-) f(x) = lim(x-> 0-) [(1)/[(1-) - 1]] = 1/0- = -oo

lim (x-> 0+) f(x) = lim(x-> 0+) [(1)/[(1+) - 1]] = 1/0+ = +oo
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Sauf distraction.  

Merci pour votre aide monsieur! Pour la dérivée dans la première question, c'est  une étourderie de ma part!

J'aurai encore besoin de votre aide pour la suite de l'exercice.
Il faut que je déduise de la question 2) l'existence de trois asymptotes  à la courbe C, représentation graphique de la fonction f(x).
Voici ma réponse :
      On sait que lim f(x)=+ qd x tend vers 0+ et lim f(x)= - qd x tend vers 0-.
On en déduit qu'il existe donc une asymptote verticale à la courbe C en x=0.
      Pour les 2 autres asymptotes, je sais qu'il en existe une en y=0 et en y=1 d'après la représentation graphique, mais je n'arrive pas à expliquer pourquoi.
----> est-ce que vous pourriez m'aider ?

Enfin, la dernière question est « Conjecturer et démontrer l'existence d'un centre de symétrie dont on précisera les coordonnées. »
----> Que signifie conjecturer ? et comment dois-je faire pour trouver le centre de symétrie ?(sans me donner la réponse, la méthode à appliquer suffit !!)
voila !
Merci !
Aurélie

Pour les 2 asymptotes qui te manquent:

On a montré que:
lim (x-> -oo) f(x) = lim(x-> -oo) [(e^x)/[(e^x)-1]] = 0/(0-1) = 0
Ceci montre que la droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe C du coté des x négatifs.

Et on a montré que:
lim (x-> +oo) f(x) = lim (x-> +oo) [1/(1 - (1/e^x))] = 1/(1+0) = 1
Ceci montre que la droite d'équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe C du coté des x positifs.
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Conjecturer est deviner sans démontrer.

Centre de symétrie.

S'il y en a un, il est sur l'asymptote verticale et à égale distance des 2 asymptotes horizontales.
La conjecture est que le centre de symétrie est au point de coordonnées(0 ; 1/2)

Vérifions par le calcul:

Pour que le point de coordonnées (A ; B) soit centre de gravité de C, il faut que (1/2).(f(A+x) + f(A-x)) = B
Donc dans le cas présent, il faut montrer que:
(1/2).(f(x) + f(-x)) = (1/2)
Donc que (f(x) + f(-x)) = 1

Si tu veux essayer de le démontrer seule, ne lit pas la suite. (qui est la démonstration)
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f(x) = e^(x)/[e^(x)-1]
f(-x) = e^(-x)/[e^(-x)-1]

f(x) + f(-x) = e^(x)/[e^(x)-1] + e^(-x)/[e^(-x)-1]
f(x) + f(-x) = [e^(x).(e^(-x)-1) + e^(-x)(e^(x)-1)]/[(e^(x)-1)(e^(-x)-1)]
f(x) + f(-x) = (1-e^(x)+1-e^(-x))/(1-e^(x)-e^(-x)+1)
f(x) + f(-x) = (2-e^(x)-e^(-x))/(2-e^(x)-e^(-x))
f(x) + f(-x) = 1
-> Le point de coordonnées (0 ; 1/2) est bien un centre de symétrie de C.
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Sauf distraction.  

merci beaucoup!! je pense avoir compris!
a bientot!
Aurélie