Bonjour à tous,

'ai un problème avec la dernière question de mon exercice, je vous poste le sujet pour que vous ayez le contexte.

f(x)=e^(−x)+2ln(e^(x)+1)=>Df=IR. Repère orthogonal (O,i,j) avec i=2cm et j=1cm (1u.a=2cm²).

1 - Déterminer la limite de f en +/- infini : lim f(x)=+infini en +/-infini.
2 - Montrer que f'(x)=(2e^(2x)-e^(x)-1)/(e^(x)(e^(x)+1)) : OK.
3 - Étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de f(x) :
]-infini;1[ f'(x) est négative donc f(x) est décroissante.
en 1 f'(x) est nulle et f(1)~2.99.
]1;+infini[ f'(x) est positive donc f(x) est croissante.
4 - Montrer que f(x)=: OK.
5 - En déduire d:y=2x asymptote oblique à f(x) en +infini. : OK en calculant f(x)-2x et en vérifiant les limites du résultat en +infini = 0.
6 - Position relative de Cf et d : f(x)-2x=e^(-x)+2ln(1+e^(-x)) : e^(-x) toujours >=0 et ln(1+e^(-x)) est également toujours >=0, donc la position relative de f(x) est toujours au dessus de d.
7 - Tracer l'allure de Cf : OK
8 - Partie de plan : axe ordonnées, Cf, d et e:(x=a) a est un réel positif. Montrer que A=2x"intégrale"entre 0 et a (e^(-x)+2ln(1+e^(-x))dx : OK
9 - Pour tout x>0 ln(1+x)<=x. Montrer que A<=6.

Donc mon problème est sur la question 9 : j'ai vérifié que ln(1+x) est bien inférieure ou égale à x en calculant la dérivée de ln(1+x)-x qui donne (-x)/(1+x) et en étudiant le signe entre [0;+infini[ la dérivée est négative donc ln(1+x)-x est décroissante et donc ln(1+x) est bien inférieure ou égale à x quand x>0.

Après je flanche, je sais qu'il faut utiliser un changement de variable mais je vois pas comment.

Merci pour toute aide à venir.

Doky.