Bonjour quand même

Quelles questions n'arrivent tu pas à traiter ?? c'est quand même une étude de fonctiont triviale tu devrais y arriver ...


Jord

je n'arrive pas la 2eme question

Re

Pour la deuxiéme question

Poses :

Alors notre équation devient :

Il ne reste plus qu'a étudier le discriminant

1)

f(x)=ln(e^2x-e^x+1)

f '(x) = (2.e^2x - e^x)/(e^2x-e^x+1)

h(x) = e^2x-e^x+1
Poser e^x = X
X² - X + 1 = 0 -> le sisriminant de cette équation est < 0 -> X²-X+1 est, pour tout X, du signe de son coefficient en X², soit positif.

-> e^2x-e^x+1 > 0 pour tout x et donc: f '(x) est du signe de g(x) = 2.e^2x - e^x

g(x) = 2.e^2x - e^x = e^x(2.e^x - 1)

Comme e^x est > 0 quelle que soit la valeur de x, f'(x) a le signe de 2.e^x - 1

2.e^x - 1 = 0 pour e^x = 1/2, donc pour x = ln(1/2)

f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; ln(1/2)[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = ln(1/2)
f '(x) > 0 pour x dans ]ln(1/2) ; oo[ -> f(x) est croissante.

Il y a un minimum de f(x) pour x = ln(1/2)
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f(x)=ln(e^2x-e^x+1)

x = ln(e^x)

f(x) - 2x = ln(e^2x-e^x+1) - 2ln(e^x)
f(x) - 2x = ln(e^2x-e^x+1) - ln((e^x)²)
f(x) - 2x = ln(e^2x-e^x+1) - ln((e^2x))

f(x) - 2x = ln((e^2x-e^x+1)/e^2x)

f(x) - 2x = ln((1 - (1/e^x)+ (1/e^2x))

lim(x->oo) [f(x) - 2x ] = lim(x->oo) ln((1 - (1/e^x)+ (1/e^2x)) = ln(1 - 0 + 0) = ln(1) = 0

Et donc la droite d'équation y = 2x est asymptote oblique (en +oo) à la courbe représentant f(x).
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2)
On a montré qu'il y avait un min de f(x) pour x = ln(1/2).
ce min vaut f(ln(1/2)) = ln((1/4)-(1/2)+1) = ln(3/4)

lim(x-> -oo) f(x) = 0

e^2x-e^x+1-k=0
--> f(x) = k

De tout ce qui précéde, on conclut:

Si k < ln(3/4) -> 0 solution.
Si k = ln(3/4) -> 1 solution.
Si k est dans ]ln(3/4 ; 0[ -> 2 solutions
Si k est dans [0 ; oo] -> 1 solution
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Sauf distraction.