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Etude de la limite d'une suite

Posté par
Jerome131 17-09-11 à 10:34

Bonjour à tous,

J'ai un petit exercice à faire mais je n'y arrive pas vraiment.

Voici l'énoncé : (Un) est définie par : Un= 1 + 1/3 + (1/3)² + ... + (1/3)n

Etudier la limite de (Un)


Je pense qu'elle converge vers 2 mais je ne sais pas comment le démontrer.

Merci

Posté par
mdr_nonre : Etude de la limite d'une suite 17-09-11 à 10:40

bonjour

tu ne vois pas de suite géométrique ? somme des termes d'une suite G ?

Posté par
Jerome131re : Etude de la limite d'une suite 17-09-11 à 10:54

Je vois peut être une suite géométrique avec les termes 1/3 , etc ...

Et de plus, pour la somme des termes d'une suite G, il me faudrait le nombre de termes. Or, ici nous ne pouvons savoir !

Posté par
mdr_nonre : Etude de la limite d'une suite 17-09-11 à 10:58

il s'agit bien de la somme d'une suite géométrique . de raison  \large \frac{1}{3}

\large \blue \boxed{U_n = 1 + \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + ... + \left(\frac{1}{3}\right)^n}   \Leftrightarrow   \boxed{U_n = \left(\frac{1}{3}\right)^0 + \left(\frac{1}{3}\right)^1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + ... + \left(\frac{1}{3}\right)^n}


tu veux savoir combien de termes compte ta somme , essaye d'appliquer   Problème Suites

Posté par
Jerome131re : Etude de la limite d'une suite 17-09-11 à 11:12

Je trouve quelque chose de bizarre pour la somme. J'ai appliquer l'aide que vous m'avez passé et voila ce que je trouve ( je pense que je peut encore simplifier ) :

((4/3)-(1/3)n)/(2/3)

La somme va vraiment m'aider pour la limite ?

Posté par
mdr_nonre : Etude de la limite d'une suite 17-09-11 à 11:19

d'où il sort le  (4/3) ?

as tu bien appliqué la formule ?

c'est quoi le nombre de terme ?



et oui ça va t'aider .. sinon je ne t'aurai pas dit de le faire .......

Posté par
Jerome131re : Etude de la limite d'une suite 17-09-11 à 11:28

Voici la formule pour la somme : 1 x((1-q n+1)/(1-q)

n+1 est le nombre de termes comme le dit ici : " ** Sn = 1/3^0 + (1/3²) + ... + (1/3^n)

nombre de terme :  [n] - [0] + 1 =  n + 1  termes    (pas  n termes) "

Du coup, j'ai : (1-(1/3)n+1) / 1-(1/3)

Ensuite, j'ai développé.

Posté par
mdr_nonre : Etude de la limite d'une suite 17-09-11 à 11:32

oui ..

rappel:  

pour une suite géométrique de raison  \Large \boxed{q \neq 1}

\huge \red \rm \boxed{\sum  des  termes =  (1^{er}  terme)\frac{1 - raison^{nbr  de  termes}}{1 - raison}}


ici quelle est la raison ?

la raison est   \large \frac{1}{3}
-----------------
ici quel est le nombre de terme ?

le dernier indice est n.
le premier indice est 0.

nombre de terme = [dernier] - [premier] + 1  =  n - 0 + 1 = n + 1


on a donc n + 1   termes
-------------------



application de la formule


\large \blue \boxed{U_n = 1\times\frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{2}{3}} = {\red \frac{3}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}}



maintenant tu peux calculer la limite non ?

Posté par
Jerome131re : Etude de la limite d'une suite 17-09-11 à 11:43

Oui, effectivement.

La limite est donc 3/2 ! Si mes calculs sont bons ...

Posté par
mdr_nonre : Etude de la limite d'une suite 17-09-11 à 11:45

oui   car  \large \red \boxed{\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} = 0}

Posté par
Jerome131re : Etude de la limite d'une suite 17-09-11 à 18:16

C'est bien cela !

Merci Beaucoup Mdr_non pour ton aide


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