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Etude de suite et de logarithme

Posté par
Mathieu88
03-02-12 à 20:23

Bonsoir, je viens vous demandez de l'aide:

Donc, voici les questions:

3a. Montrer que x>0, 1-1/xlnxx-1

Mes résultats: J'ai fait f(x)=lnx-(1-1/x) et je cherche sa dérivée qui vaut f'(x)=1/x+1/x²
Puis, f(x)=lnx-(x-1) et je cherche sa dérivée qui vaut f'(x)=1/x+1

Mon problème comment le justifier via un tableau de signe. Je bloque pour le faire

b. En déduire que p0, 1/p+1ln(p+1/p)1/p

C'est fait.

c. En déduire que Unln2Un+1/2n où Un=1/(n+1)+1(n+2)+...1/2n

C'est fait: Pour p=n, on a:  1/(n+1)ln(n+1/n)1/n
Pour p=n+1, on a : 1/(n+2)ln(n+2/n+1)1/n+1
                                    .... Etc.
Puis pour p=2n-1: 1/(2n)ln(2n/2n-1)1/2n

Donner un encadrement de Un. >> Je bloque
d. Montrer que la suite converge et déterminer sa limite >> Je bloque

Merci de votre aide !

Photo de l'énoncé pour les intéressé(e)s : ***
* Océane > Mathieu88 si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum. *

Posté par
Yzz
re : Etude de suite et de logarithme 03-02-12 à 20:26

Salut,
Comme x>0 , ta première dérivée est positive.
La seconde est fausse.

Posté par
Mathieu88
re : Etude de suite et de logarithme 03-02-12 à 20:41

Oui, c'est f'(x)=1/x-1

Par contre je vois pas comment je peux justifier l'inégalité qu'avec les tableau de signes.

Posté par
Yzz
re : Etude de suite et de logarithme 03-02-12 à 20:46

Oups, dérivée fausse : f(x)=lnx-(1-1/x)=lnx-1+1/x donne f'(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x²
Etudie le signe de f'(x).

Posté par
Mathieu88
re : Etude de suite et de logarithme 03-02-12 à 21:00

Première dérivée :

x    |0        +inf.
-------------------
(x-1)|  +       +
x²   |  +       +
f'(x)|  +       +

On observe que la dérivée est toujours > 0, donc 1-1/x<lnx

Seconde dérivée:

x    |0        +inf.
-------------------
1/x  |  /   +    +
-1   |  -   -   -
f'(x)|  /   -    -

On observe que la dérivée est toujours < 0, donc lnx<x-1

Posté par
Yzz
re : Etude de suite et de logarithme 03-02-12 à 21:01

Faux dès le début.
x-1 n'est pas tjrs positif sur )0;+oo( ...

Posté par
Mathieu88
re : Etude de suite et de logarithme 03-02-12 à 21:09

Seconde dérivée:

x    |0    1    +inf.
-------------------
1/x  |  /   0    +
-1   |  -   -   -
f'(x)|  /   0    -

La je bloque.

Posté par
Yzz
re : Etude de suite et de logarithme 03-02-12 à 21:13

C'est un peu n'importe quoi, sans vouloir être méchant...

f'(x)=(x-1)/x²
f'(x) est du signe de x-1 , car x²>0.
Or x-1>0 si x>1.
Donc f'(x) <0 avant 1 et positif après 1.
Donc f est décroissante avant 1 et croissante après 1.
Donc f admet un minimum en 1.
Or f(1) = ln1-(1-1/1) = 0.
Donc f admet un minimum égal à 0 : donc f(x)>0.
Et donc lnx-(1-1/x)>0 , donc lnx>1-1/x.

Fais pareil avec l'autre côté.

Posté par
Mathieu88
re : Etude de suite et de logarithme 03-02-12 à 21:20

Ah oui c'est du n'importe quoi ! En fait j'ai fait une étourderie ! J'ai pris la mauvaise dérivée.

Pour la seconde dérivée:

f'(x)=1/x-1
Or 1/x>0 (Pour x>0) et -1<0
Donc f'(x) <0 pour x>0
Donc f est décroissante après 0
Et donc lnx-(x-1)<0 , donc lnx<x-1.

Posté par
Mathieu88
re : Etude de suite et de logarithme 03-02-12 à 21:31

Comment démontrer que la suite converge et trouver sa limite ?

Posté par
Mathieu88
re : Etude de suite et de logarithme 04-02-12 à 09:47

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