Bonsoir, je viens vous demandez de l'aide:
Donc, voici les questions:
3a. Montrer que x>0, 1-1/x
lnx
x-1
Mes résultats: J'ai fait f(x)=lnx-(1-1/x) et je cherche sa dérivée qui vaut f'(x)=1/x+1/x²
Puis, f(x)=lnx-(x-1) et je cherche sa dérivée qui vaut f'(x)=1/x+1
Mon problème comment le justifier via un tableau de signe. Je bloque pour le faire
b. En déduire que p
0, 1/p+1
ln(p+1/p)
1/p
C'est fait.
c. En déduire que Unln2
Un+1/2n où Un=1/(n+1)+1(n+2)+...1/2n
C'est fait: Pour p=n, on a: 1/(n+1)ln(n+1/n)
1/n
Pour p=n+1, on a : 1/(n+2)ln(n+2/n+1)
1/n+1
.... Etc.
Puis pour p=2n-1: 1/(2n)ln(2n/2n-1)
1/2n
Donner un encadrement de Un. >> Je bloque
d. Montrer que la suite converge et déterminer sa limite >> Je bloque
Merci de votre aide !
Photo de l'énoncé pour les intéressé(e)s : ***
* Océane > Mathieu88 si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum. *
Oui, c'est f'(x)=1/x-1
Par contre je vois pas comment je peux justifier l'inégalité qu'avec les tableau de signes.
Oups, dérivée fausse : f(x)=lnx-(1-1/x)=lnx-1+1/x donne f'(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x²
Etudie le signe de f'(x).
Première dérivée :
x |0 +inf.
-------------------
(x-1)| + +
x² | + +
f'(x)| + +
On observe que la dérivée est toujours > 0, donc 1-1/x<lnx
Seconde dérivée:
x |0 +inf.
-------------------
1/x | / + +
-1 | - - -
f'(x)| / - -
On observe que la dérivée est toujours < 0, donc lnx<x-1
C'est un peu n'importe quoi, sans vouloir être méchant...
f'(x)=(x-1)/x²
f'(x) est du signe de x-1 , car x²>0.
Or x-1>0 si x>1.
Donc f'(x) <0 avant 1 et positif après 1.
Donc f est décroissante avant 1 et croissante après 1.
Donc f admet un minimum en 1.
Or f(1) = ln1-(1-1/1) = 0.
Donc f admet un minimum égal à 0 : donc f(x)>0.
Et donc lnx-(1-1/x)>0 , donc lnx>1-1/x.
Fais pareil avec l'autre côté.
Ah oui c'est du n'importe quoi ! En fait j'ai fait une étourderie ! J'ai pris la mauvaise dérivée.
Pour la seconde dérivée:
f'(x)=1/x-1
Or 1/x>0 (Pour x>0) et -1<0
Donc f'(x) <0 pour x>0
Donc f est décroissante après 0
Et donc lnx-(x-1)<0 , donc lnx<x-1.
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