1)

e > 2
-> e^n - 2^n > 0

Le numérateur et le dénominateur de Vn sont > 0 -> Vn > 0.
-----
2)
Vn=(e^(n)+2^(2n))/(e^(n)-2^(n))
V(n+1)=(e^(n+1)+2^(2n+2))/(e^(n+1)-2^(n+1))

V(n+1) - V(n) = [(e^(n+1)+2^(2n+2))/(e^(n+1)-2^(n+1))] - [(e^(n)+2^(2n))/(e^(n)-2^(n))]
V(n+1) - V(n) = [(e^(n+1)+2^(2n+2))(e^(n)-2^(n)) - (e^(n)+2^(2n))(e^(n+1)-2^(n+1))]/[(e^(n+1)-2^(n+1))(e^(n)-2^(n))]

Le dénominateur est > 0 (par le 1)

-> V(n+1) - V(n) a le signe de [(e^(n+1)+2^(2n+2))(e^(n)-2^(n)) - (e^(n)+2^(2n))(e^(n+1)-2^(n+1))]

(e^(n+1)+2^(2n+2))(e^(n)-2^(n)) - (e^(n)+2^(2n))(e^(n+1)-2^(n+1))
= e^(2n+1)-(2^n)(e^(n+1)) + (2^(2n+2).e^n -2^(3n+2) - e^(2n+1) + (e^n).(2^(n+1)) - (2^(2n)).e^(n+1) + 2^(3n+1)
= -(2^n)(e^(n+1)) + (2^(2n+2).e^n -2^(3n+2) + (e^n).(2^(n+1)) - (2^(2n)).e^(n+1) + 2^(3n+1)
= -(2^n).e^(n+1).(1 + 2^n) + (e^n).(2^(n+1)) .(1 + 2^(n+1)) +  2^(3n+1) .(1-2)
= -(2^n).e^(n).(e + e.2^n) + 2.(e^n).(2^n) .(1 + 2^(n+1)) +  2^(3n+1) .(1-2)
= -(2^n).e^(n).(e + e.2^n -2 - 2^(n+2)) - 2^(3n+1)
= -(2^n).e^(n).(e + e.2^n -2 - 4.2^n) - 2^(3n+1)
= -(2^n).e^(n).(e - 2 + 2^n(e - 4)) - 2^(3n+1)

Et là, je trouve que si n >= 2, -(2^n).e^(n).(e - 2 + 2^n(e - 4)) - 2^(3n+1) > 0
et que donc Vn est croissante pour n >= 2.

Alors je calcule:

V1 = 9,35...
V2 = 6,90...
V3 = 6,95...
V4 = 8,04...

Et cela à l'air de confirmer ce que j'ai trouvé avant.
-----
Vérifie l'énoncé (ou refais mes calculs)  

il y a toujours quelquechose d'étrange dans les math,on comprend tjrs tout lorsqu'on a l'explication en face (enfin en general)
MES HUMBLES RESPECT J-P

j'aurais bien une objection cependant ,comment determine tu la valeur pour laquelle la suite croit et surtout pk croit elle alors qu'elle dvrait etre decroissante?

Quand je tombe sur :
... = -(2^n).e^(n).(e - 2 + 2^n(e - 4)) - 2^(3n+1)

Cela me fait mal aux yeux, et je reniffle de suite que le signe de cette expression ne sera pas celui attendu.

Alors, je m'arrète, je mets cette équation sur un graphe (sur la calculette ou avec Excel) et on voit alors que le signe varie -> il y a une erreur d'énoncé.
->
Je n'insiste plus à chercher à démontrer quelque chose de faux.

il y a effectivement une erreur dans la fonction,il s'agit en fait de ((e^(n)+2^(n))/((e^(n) -2^(n)) et non pas e^(2n)....toutes mes excuses

C'est mieux ainsi.  

a)

V(n) = (e^(n)+2^(n))/(e^(n) -2^(n))
Comme e > 2, le dénominateur est > 0 pour tout n de N*.
Le numérateur est > 0 pour tout n de n*
-> V(n) > 0 pour tout n de n*
Donc Vn est minorée par 0.   (1)

-----
b)

V(n) = (e^(n)+2^(n))/(e^(n) -2^(n))

V(n+1) = (e^(n+1)+2^(n+1))/(e^(n+1) -2^(n+1))

V(n+1) - V(n) =  [(e^(n+1)+2^(n+1))/(e^(n+1) -2^(n+1))] - [(e^(n)+2^(n))/(e^(n) -2^(n))]

V(n+1) - V(n) = [(e^(n+1)+2^(n+1)).(e^(n) -2^(n)) -(e^(n)+2^(n)).(e^(n+1) -2^(n+1))]/[(e^(n+1) -2^(n+1)).(e^(n) -2^(n))]

Comme e > 2, le dénominateur est > 0
--> V(n+1) - V(n) a le signe de  [(e^(n+1)+2^(n+1)).(e^(n) -2^(n)) -(e^(n)+2^(n)).(e^(n+1) -2^(n+1))]
---
(e^(n+1)+2^(n+1)).(e^(n) -2^(n)) -(e^(n)+2^(n)).(e^(n+1) -2^(n+1))  
= e^(2n+1) - (2^n).e^(n+1) + 2^(n+1).(e^n)-2^(2n+1) - (e^(2n+1) -2^(n+1).(e^n) +(2^n)e^(n+1) -2^(2n+1))
= - 2.(2^n).e^(n+1) +2.2^(n+1).(e^n)
= - (2^(n+1)).e^(n+1) +2.2^(n+1).(e^n)
= (2^(n+1)).[-e^(n+1) + 2.e^n]

= (2^(n+1)).[(e^(n))(2 - e)]

2^(n+1) > 0 pour tout n de N* et e^n > 0 pout tout n de N*.
Comme 2-e < 0, on a donc:

(e^(n+1)+2^(n+1)).(e^(n) -2^(n)) -(e^(n)+2^(n)).(e^(n+1) -2^(n+1)) < 0 pour tout n de N*.

V(n+1) - V(n) < 0 pour tout n de N*
V(n+1) < V(n)  pour tout n de N*

Et Vn est décroissante.  (2)
-----
c)
(1) et (2) ->
Vn est décroissante et minorée -> Vn est convergente.

Vn = [e^n.(1 + (2/e)^n)] /  [e^n.(1 - (2/e)^n)]

lim(n->oo) V(n) = lim(n->oo) [e^n.(1 + (2/e)^n)] /  [e^n.(1 - (2/e)^n)] =  lim(n->oo) (e^n / e^n) = 1

Vn converge vers 1.
---
V(n) > 1,1 pour (e^(n)+2^(n))/(e^(n) -2^(n)) > 1,1
e^(n)+2^(n) > 1,1.e^(n) - 1,1.2^(n))
2,1.2^n > 0,1.e^n
(e/2)^n < 21

n.ln(e/2) < ln(21)
n < ln(21)/ln(e/2)
n < 9,9...
Comme n entier -> n <= 9

De nouveau ici erreur d'énoncé???? , peut être est-ce:

Déterminer le plus petit entier n0 tel que quel que soit n superieur ou egal à n0 , Vn soit inférieur à 1,1.
Si c'est cela, la réponse est n0 = 10

Ou alors si l'énoncé est:
Déterminer le plus grand entier n0 tel que quel que soit n inférieur ou egal à n0 , Vn soit supérieur à 1,1.
Si c'est cela, alors n0 = 9.
-----
Sauf distraction.  

c'est bien ce que je trouve en partie et bien encore merci et désolé de t'avoir pris plus de temps à cause de l'erreur sur l'énoncé(halala meme pas fichu de recopier correctement )lol