Salut TaC2 ...

1.
Pose Un = f(n)  où f(x) = (x+1) - (x)

Montre que f'(x) < 0 et déduis en le sens de varition de (Un)

2.
Pose Un+1 = f(Un) avec f(x) = 1/2(x + a/x)
Calcule f'(x) et montre que f est croissante sur [a , + infini[

A l'aide d'un raisonnement par récurrence montre que pour tout n entier naturel, Un > a et Un+1 < Un
Déduis en que (Un) converge
Note l sa limite et de l'égalité Un+1 = f(Un) déduis en que f(l) = l puis que nécéssairement l = (a)

Cette suite est connue sous le nom de suite de Héron : elle converge vers a et permet de donner un approximation rationnelle de a

Matouille2b  

Merci pour votre aide mais je ne dois etudier que leurs sens de variations.
Pour la première suite, est ce que je peut restreindre l'étude de f(x)=\sqrt{x+1} -\sqrt{x} sur ]0;+[  vu que l'on étudie la suite sur ?

Oui ...

Dsl je voulais dire de .

J'avais compris ...

Merci bien pour votre aide mais j'ai un nouveau problème, il faut toujours encore étudier le sens de variation de cette suite:

Pour tout 1 on a

Il faut alors montrer; que les suites extraites r et s définies par;

Pour tout /0, et ;
sont respectivement strictement croissante et décroissante
J'ai donc exprimier mais je n'arrive pas à aboutir!
Est ce la mauvaise méthode?
Merci d'avance

Bonsoir



Alors :

Ainsi :


(rn) est donc décroissante

Essaye de faire de même pour sn

Pour il faut rempalcer n dans lexpression de
par 2(n+1)? Car c'est ce que j'ai fais et je n'avais pas alors les termes qui s'annulaient. Comment ecrivez vous
Merci de m'aider

Eh bien tu remplaces n par n+1 dans rn, ce que j'ai fait non ?

Par exemple pour on a . d'où non?

En fait j'ai remplacer les n par 2n c'est bien comme cela qu'il faut faire non?

Non

Il n'y a plus que des signes "-" dans ton expression puisque (-1)²ⁿ⁺¹=-1 et ce quelque soit n entier

OK j'ai compris mais pour l'expression de r_{n+1} le premier terme n'est pas 1/3?

Meme par 1/4 plutot

Non prends n=0

Mais la suite n'est pas définie pour n=0!

Dans ce cas là prend n=1 et on retrouve 1/4. Il reste à rajouter 1/2 à la différence

Don on aurait ?

Oui, qui est négatif donc la suite est bien décroissante.

Ok merci beaucoup pour votre aide j'attaque !

Rebonjour à tous !
Voila d'après matouille 2b il suffit de faire une récurrence pour prouver que la suite de Héron est décroissante mais je n'arrive déja pas à initialiser cette récurrence vu que l'on ne connait rien sur le terme à part qu'il est supérieur à
Soit a>0,   et  

Il faut d'abord montrer que?
Merci d'avance!

Tout compte fait j'ai réussi à aboutir seul!