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Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien

Posté par
gabyx1999 05-11-16 à 13:05

Bonjour, je bloque sur un exercice... enfin c'est plutôt que je ne suis pas sûre de mon résultat.
Le but de l'exercice est d'étudier les variations de la fonction ci-dessous:
f(x)=\frac{2}{x}-\frac{ln(x)}{x}+2x-5
Voici ma réponse:
J'étudie tout d'abord le domaine de définition qui est ]o;+\infty[
Ensuite pour étudier les variations d'une fonction il faut d'abord étudier le signe de sa dérivée, donc je calcul sa dérivée.
f'(x)=2ln(x)-\frac{1}{x}ln(x)+2
f'(x)=\frac{2xln(x)-ln(x)+2x}{x}

Mais je ne suis pas sûre de cette dérivée. Si quelqu'un pouvait me corriger ou me confirmer que c'est correct, Merci d'avance!

Posté par
Glapion Moderateurre : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 13:13

non, elle est fausse la dérivée. Comment as-tu fais ?

Posté par
Jedoniezhre : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 13:13

Bonjour,

Très étonnant qu'il n'y ait pas de x2 au dénominateur ...

Posté par
Jedoniezhre : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 13:14

Bonjour Glapion , je te laisse la main.

Posté par
gabyx1999re : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 13:17

Glapion
J'ai appliqué les formules de dérivées
donc 2/x a pour dérivée 2ln(x)
ln(x)/x a pour dérivée (1/x)ln(x)
et 2x a pour dérivée 2

Posté par
Glapion Moderateurre : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 13:22

Citation :
ln(x)/x a pour dérivée (1/x)ln(x)

non, un quotient de la forme u/v se dérive en (u'v-v'u)/v²

Posté par
Glapion Moderateurre : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 13:23

Citation :
2/x a pour dérivée 2ln(x)

non plus, là tu as donné une primitive
la dérivée de 2/x est -2/x²

Posté par
gabyx1999re : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 13:50

ah oui! Merci! je confond tout avec les dérivées et les primitives!

Posté par
gabyx1999re : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 13:55

finalement je trouve donc:
f'(x)=\frac{2x^{2}-ln(x)-x-2}{x}
est ce que c'est correct? ^^

Posté par
Glapion Moderateurre : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 14:00

non (comme t'a dit Jedoniezh il y a forcement un x² au dénominateur)

tu dois trouver (2x²+ln(x)-3)/x²

Posté par
gabyx1999re : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 18:44

oui pardon pour le x au carré au dénominateur c'est ce que j'ai trouvé j'ai mal tapé ma formule... par contre pour le numérateur je ne comprends pas comment ln(x) peut être positif et d'où sort le -3... J'ai refait ma dérivée et je ne trouve toujours pas ça :/

Posté par
Glapion Moderateurre : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 18:52


f(x) = 2/x - ln(x)/x + 2x - 5
f '(x) = -2/x²-((1/x)x-ln(x))/x²+2 = (-2-1+ ln(x) + 2x²)/x² = (2x²+ln(x)-3)/x²

Posté par
gabyx1999re : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 18:55

ah oui! erreur bête de ma part (1/x)x =1 et non x comme ce que j'avais fait ^^

Posté par
gabyx1999re : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 18:58

et donc ensuite je calcul delta, x1 et x2 pour le numérateur? (même avec ln(x) en tant que b?)

Posté par
Jedoniezhre : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 19:01

f(x)=\dfrac{2}{x}-\underbrace{\dfrac{1}{x}\ln(x)}_{u\times v}+2x-5 \\\\ f'(x)=-\dfrac{2}{x^2}-\left[ \underbrace{\left( -\dfrac{1}{x^2}\times \ln(x)\right)}_{u'\times v}+\underbrace{\left(\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{x} \right)}_{u\times v'}\right]+2=-\dfrac{1}{x^2}\left(3+\ln(x) \right)+2

Posté par
Glapion Moderateurre : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 19:03

non, delta c'est que pour les équations du second degré. et avec le ln(x) ça n'en est pas une.
si tu veux étudier le signe de cette dérivée, étudie la fonction 2x²+ln(x)-3

Posté par
Jedoniezhre : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 19:05

Je reprends :
f(x)=\dfrac{2}{x}-\underbrace{\dfrac{1}{x}\ln(x)}_{u\times v}+2x-5 \\\\ f'(x)=-\dfrac{2}{x^2}-\left[ \underbrace{\left( -\dfrac{1}{x^2}\times \ln(x)\right)}_{u'\times v}+\underbrace{\left(\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{x} \right)}_{u\times v'}\right]+2=-\dfrac{1}{x^2}\left(3-\ln(x) \right)+2=\dfrac{2x^2+\ln(x)-3}{x^2}

Posté par
gabyx1999re : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 20:37

Ah oui c'est vrai!!
Désolé pour les réponses tardives ! j'ai enfin réussi l'exercice (c'était la partie B d'un exercice et je viens de voir le lien avec le Partie A tout est logique et j'ai réussi!)
Merci d'avoir pris du temps pour m'aider!!

Posté par
Jedoniezhre : Etude de variation d'une fonction - logarithme népérien 05-11-16 à 20:58

De rien.


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