Peux tu me dire dans ton cours, quel est la dfinition d'une suite convergente, ca m'aidera pour t'aider comme il faut

Alors, dire qu'une suite u est convergente vers un réel l signifie que tout intervalle ouvert i contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain nombre.
Autrement dit, pour tout intervalle i contenant l, il existe n₀ appartenant à l'ensemble N tel que pour tout n n₀, u_n appartient à i

Définition et propriété :
Si u est convergente vers un réel l alors l est unique
On dit alors que l est sa limite, et on note lim u_n = l

ok alors voila le principe:

SOit I un intervalle contenant l.
Il existe n0 tel que pour tout n>no, Vn est dans I car V tends vers L
Il existe n1 tel que pour tout n>n1 Un est dans I car U tend vers L.

Attention : n0 et n1 sont a priori different la c'est subtil!

Donc si on prend n2 = max(n0,n1) on a :

pour tout n>n2 , Un et Vn sont dans I.

Or Wn=max(vn,un) = un ou vn donc
pour n>n2 , Wn est dans I ce qui montre que Wn tends vers L.

Attention: la demo repose sur la différence entre n0 et n1, et le fait de prendre la max des deux pour etre sur, qu'a partir de ce re=ang, les deux suites sont dans I.

Merci beaucoup, même si j'avoue avoir un peu de mal à comprendre ..

oui c'est pas super evident je comprends
Restant à dispo.

et pour la deuxième partie tu n'as aucune idée ?

si on appelle d la distance entre l et l'

tu peux prendre comme intervalle:

I=[l-d/4,L+d/4] et I'=[l'-d/4,l'+d/4] verifie qu'ils sont disjoionts si c'est pas evident pour toi.

ensuite tu ecris que U tends ver L
que V tends vers L'

et pareil pour n bien choisi, wn est forcement dans un des deux interavlles, et c'est forcement celui qui contient l' car wn est un max et l'>l

tu en deduis que wn tends vers l'

comment avez-vous trouvé les intervalles ? je ne comprends pas vraiment ce que signifie "disjoints"
excusez moi pour toutes ces questions, mais ayant été absente la semaine avant les vacances, je n'ai pas vu le cours sur les limites du tout alors je suis vraiment perdue

disjoint veux dire qu'il ne se "recouvrent" pas.
Pour ca, c'est utile de considérer l'ecart entre les deux et de faire des intervalles en prenant une portion (moi j'ai pris 1/4, de la distance)

je te fais un desin pour te montrer

sur le dessin tu vois que si on construit des intervalles centrés sur L et L' et qui font d/2 de longeur, on est surs qu'ils sont disjoints.

Ahhh oui d'accord
Je vois, merci beaucoup pour l'explication  !

Je precise: comme on ne sait rien d'autre sur l et l' que l<l' on est obligé d'utiliser la distance entre les deux.
D'ou la suite.

et pour démontrer que w converge vers l', il faut procéder de la même façon que dans la question 1 ?

oui un peu près.
Pour n bien choisi (toujourds pareil, le max des deux indices n0 et n1, tu as wn qui est que dans I' (car comme I et I' sont disjoint, wn, le max de Un et Vn vaut forcement Vn et est donc forcement dans I'..)

J'essaie d'expliquer un peu mieux :

Au debut, tu ne sais pas si wn vaut vn ou bien un
par contre au bout d'un moment un se rapproche de l (et donc va etre dans I) et vn se rapproche de l' et donc va etre dans I'

Comme les deux intervalles sont disjoints, quand les deux conditions sont remplies (un dans I et vn dans I')
tu as forcement un<vn et donc wn=vn et donc wn dans I'

ok?

oui ça d'acc je comprends bien !