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"Etude dynamique des polynômes complexes" Adrien Douady
Bonsoir à vous tous, je suis actuellement en train d'étudier le livre d'Adrien Douady cité ci-dessus et je m'intéressais plus particulièrement à la page 2(du livre et non du fichier .pdf que vous pourrez trouver ici: http://www.math.cornell.edu/~hubbard/OrsayFrench.pdf ->>page 16 du fichier)
En fait mon problème c'est que je ne vois de quoi il parle quand il parle de rayon externe. Ou simplement de point critique de période 3. Je sais ce qu'est un point critique(gradient nul en ce point?) et polynôme quadratique(du second degré?). Mais je ne comprends pas la légende.
Pour être encore plus précis, c'est l'objet de mon tipe. (je suis en sup')
Et je dois l'achever mardi et en rédiger sa fiche synoptique.
Je ne sais pas quelle problématique je pourrais formuler par rapport au thème prévision.
Je pensais à: Comment prévoir la périodicité d'un polynôme quadratique et ce que vous pouviez en penser?
Merci beaucoup en espérant des réponses assez rapidement.
Bonne soirée. ^^
Bonjour.
Le rayon externe est défini en fin de page 8 / début de la page 9 de ton polycope. (je n'ai pas le livre sous les yeux en revanche)
Un point critique, pour une fonction holomorphe (par exemple un polynôme à coefficients complexes), c'est un point où la dérivée s'annule.
On peut interpréter ça en termes de gradient, en identifiant et
, mais c'est superflu.
Par exemple, est l'unique point critique de
.
Il faut comprendre que dans ce que tu étudies, l'objet central, c'est une application (ici un polynôme) que l'on itère : si , on considère la suite définie par récurrence
et on essaye d'étudier son comportement en fonction du choix de
. Par exemple, il existe des choix de
pour lesquels toutes ces suites vont converger vers le même
, d'autres pour lesquelles elles vont diverger, etc ...
C'est un système qui évolue au cours du temps (discret) : au temps 0, le système est dans l'état , au temps 1, il est dans l'état
, au temps 2, il est dans l'état
, et ainsi de suite.
Un point est périodique si il existe
tel que
, c'est-à-dire si le système revient à son état initial. La période est alors le plus petit entier
tel qu'on ait cette égalité.
Sans vouloir t'inquiéter, le pdf dont tu donnes le lien est d'un niveau réellement élevé pour un étudiant en sup', et je doute qu'en une journée, tu puisses en faire le tout, notamment si tu bloques sur des principes de base.
Par exemple, la définition du rayon externe fait intervenir le théorème d'uniformisation de Riemann, qui est énoncé en des termes qui vont faire fuir les néophytes ...
Pour la thématique, les systèmes dynamiques rentrent parfaitement dans le cadre des prévisions, puisqu'on cherche à prévoir le comportement de la suite selon la condition initiale
.
N'hésite pas à poser des questions plus précises, si je peux y répondre, ça sera avec plaisir.
Oh merci pour cette réponse aussi rapide. 
Je suis totalement d'accord, ce document est vraiment trop difficile à comprendre pour mon niveau. Beaucoup trop de définitions sont méconnues.
Mais je m'accroche comme je peux. (C'est mon prof de maths qui m'a envoyé ce document)
Je viens en effet de trouver la définition d'un rayon externe mais elle est vraiment trop difficile.
Y aurait moyen de la rendre accessible en prenant en compte que je possède le chapitre de spé: Espaces vectoriels normés.
Soit K inclus dans C un compact plein(je comprends pas l'adjectif plein associé aux compacts, l'auteur précise que C privé de K soit connexe. C'est une proposition ou c'est la définition d'un compact plein?
Dans ce cas là, ça voudrait dire qu'il existe en tout bi-point de C/K un arc joignant les deux points)
Et quand il note "Phi indice K" ca veut dire quoi? (je sais ce que c'est qu'un homéomorphisme dans un espace topologique mais pas C-analytique. )
Et "D indice r" c'est quoi? :/
Et aboutir veut dire?
Sinon pour le reste ça devrait bien se passer, j'ai programmé sous mapple un programme qui me trace n'importe quel ensemble de Mandelbrot à l'occurrence.
Le lapin de Douady est un cas particulier pour lequel on prend c=-0.780+0.240i.
Si le module de la suite formé à partir de la valeur z_0 appartenant à C converge alors on dit dit que le point z_0 appartient à l'ensemble du lapin du Douady.
En fait, je viens de réaliser que je m'étais trompé, dans l'ensemble de Mandelbrot c'est c qu'on fait varier. Mais que fait-on de la valeur z_0?
Pour finir, le point critique est périodique de période 3 veut dire que..
point critique=P(P(P(point critique)))
Encore merci pour l'aide apportée.
Je commence à voir beaucoup plus clair.
J'ai fait beaucoup de recherches sur internet, mais il n'y a pas tout.
Là, ça m'a vraiment aidé.
Une autre référence (en anglais), plus accessible à ton niveau : 
Une autre, en français cette fois-ci, mais un peu plus avancé (enfin, ça reste quand même plus accessible que le poly de Douady 
) :
Mais si tu dois rendre ton projet demain, c'est un peu tard ...
Soit K inclus dans C un compact plein(je comprends pas l'adjectif plein associé aux compacts, l'auteur précise que C privé de K soit connexe. C'est une proposition ou c'est la définition d'un compact plein?
Tu peux prendre ça comme la définition d'un compact plein. Géométriquement, ça signifie qu'il n'a pas de trou : une patate sera un compact plein, une couronne non.
Pour le
C'est ici un homéomorphisme qui est holomorphe, ainsi que sa réciproque.
Une fonction holomorphe (définie sur un ouvert de
Attention à ne pas confondre ensembles de Julia et ensemble de Mandelbrot.
Pour un ensemble de Julia, on se fixe une valeur
Ensuite, on définit l'ensemble de Julia (plein) comme le complémentaire de l'ensemble des
Lorsque tu dis que le lapin de Douady est l'ensemble des
Il y a bien sur beaucoup d'autres définitions équivalentes, que tu as du rencontrer, mais celle-ci est la plus simple dans le cas particulier des polynômes. (les autres définitions font intervenir l'équi-continuité et la notion de famille normale, ou alors définissent l'ensemble de Julia comme l'adhérence de l'ensemble des points périodiques répulsifs)
L'ensemble de Julia est en fait l'ensemble des conditions initiales pour lesquelles le systèmes est "instable"; cette notion d'instabilité est rendue rigoureuse avec l'équicontinuité. C'est un sous-ensemble de l'espace de phase.
Pour l'ensemble de Mandelbrot, on fait cette fois-ci varier
L'ensemble de Mandelbrot est un sous-ensemble de l'espace des paramètres : on a une famille de systèmes qui est décrite par le paramètre
La définition que je t'ai donné ne se prête pas vraiment au calcul numérique : il faut pour chaque valeur de
Mais il existe une définition plus maniable : il s'agit de l'ensemble des
Bon courage pour la suite de ton travail.
Merci pour ces deux références.
C'est bien ce que je me disais à propos de la différence entre ensemble de Julia et ensemble de Mandelbrot. C'est très clair désormais.
Mais comment je pourrais faire pour prouver que la période du point critique de ce polynôme quadratique, c'est 3?
J'ai essayé de l'appliquer trois fois, mais je ne retombe pas sur la valeur initiale.
Logiquement, j'aurais du retomber sur P(P(P(z_0)))=z_0 et or c'est pas le cas.
Le point critique est 0 et il est dit qu'il est périodique de période trois.
Donc P(0)=c, P(P(0))=c²+c, P(P(P(0)))=c^4+2c^3+c^2+c
:/
Lorsqu'on dit que le lapin de Douady est obtenu avec , c'est une valeur approchée, pas une valeur exacte ! (tu es d'ailleurs certain de la valeur que tu donnes ?)
En fait, est justement une racine de l'équation
.
Ce ne serait pas la bonne valeur que j'ai trouvé pour c? ^^
Car si on constate qu'il a une période de trois.
En effet, une solution pour laquelle c^4 + 2c^3 + c^2 + c = 0 est bien c = 0,123 + 0,745 i.
Avec toutes ces nouvelles informations, je pense que je vais pouvoir bien avancer mon tipe.
Et si je rencontre de nouveaux problèmes, je reposterai ici.
Merci pour tout.
Rebonjour.
J'ai écrit ma fiche synoptique et je l'ai rendu à mon prof.
Maintenant, comme ma présentation, c'est mardi.
Je voudrais essayer de calculer la dimension Fractale du Lapin de Douady.
On a la définition suivante d'un objet Fractal:
Un objet fractal est un espace métrique compact dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff.
(j'ai du définir ce que c'était qu'un espace métrique compact, qu'une dimension topologique et qu'une dimension de Hausdorff. Si besoin est, je les repréciserai.)
Donc mon problème, c'est que j'arrive pas à manier cette définition pour aboutir au résultat suivant:
Sa dimension fractale est de: 1.3934.
Comment je fais pour le démontrer? Merci.
Bonjour.
Sur cet article tu peux trouver un algorithme qui calcule la dimension de Hausdorff pour certains ensembles de Julia, dont le lapin de Douady. Il va falloir s'accrocher, ce n'est pas quelque chose de simple ...
A part ça, est-ce que tu connais la dimension de Hausdorff et ses principales propriétés ? Si tu dois en parler à l'oral, il faut aussi s'attendre à des questions "élémentaires" sur ces notions ...
Un autre document , sur la formule de Bowen, qui relie la dimension de Hausdorff de l'attracteur d'un système dynamique avec la pression topologique. C'est une généralisation du théorème de Moran-Hutchinson sur la dimension de Hausdorff des ensembles auto-similaires.
Tout l'exposé est fait uniquement pour les "cookie-cutters", mais ça marche pareil (au moins pour les énoncés des théorèmes) pour la dynamique holomorphe. Tu y trouveras la définition de la dimension de Hausdorff.
Pour la dimension topologique, il ne doit pas être très dur de montrer que le lapin a une dimension topologique égale à 1, ce qui prouverait qu'il est fractal au sens de "ta" définition.
Un peu de culture, pour ton oral : cette définition d'objet fractal a été proposée par Mandelbrot, mais elle n'est pas très satisfaisante, puisque certains objets qu'on considère comme fractals ne la vérifie pas. Mais c'est quand même une définition relativement élémentaire, et de ce point de vue, c'est souvent celle-ci qu'on donne ...
Un autre résultat classique à connaître sur la dimension de Hausdorff des ensembles de Julia, c'est la formule de Ruelle : proposition 1.3.1
Et aussi, je fais comment pour prouver que z_0=0 est l'unique point critique?
Et que c'est bel et bien un point critique?
Super! J'avais pas eu le temps de lire que j'avais déjà posté quelque chose de nouveau.
Merci! Je vais consulter ça tout de suite.
C'est super gentil.
Et aussi, je fais comment pour prouver que z_0=0 est l'unique point critique?
Comme je l'ai dit dans mon premier message, un point critique pour le polynôme
Quels sont les point critiques de
Bonjour à tous
Juste pour dire que ce topic me fait toujours sursauter... j'ai bien connu Adrien alors ça me rend triste...
Oui dans ce cas on aura sa dérivée qui vaudra 2z=0 => z=0
(oups.)
Pardon si ce topic dérange. 
Mais ce qu'a fait Mr Douady est vraiment impressionnant et très intéressant.
C'est pour cette raison que mon tipe y est consacré.
Bonjour Camélia.
Le sujet est plus que passionnant, ça devait être quelque chose de pouvoir en discuter avec quelqu'un comme Douady !
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