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etude fonction logarithme

Posté par BlInD (invité) 01-10-03 à 16:43

bonjour, j'ai un petit probleme, donc si quelqu'un pouvait
m'aider ca serait sympa!!!

variations de g(x)=x²+lnx   sur ]0;+00[
montrer que g s'annule pour un unique reel µ et preciser le signe de
g

en deduire le sens de variation de la fonction f(x)= x²+(lnx)²  sur
]0;+00[

trouver le pt de la courbe repretative de la fct lnx qui est le plus pres
de l'origine

merki d'avance

Posté par Domi (invité)re : etude fonction logarithme 01-10-03 à 17:52

Bonjour,

Etude de g(x):

Le plus simple est de faire une étude de g.

1) calcul de g'(x): tu arriveras à prouver que g'(x) > 0 =>
g croissante
2) calcul des limites de g en -oo et en +oo.

3) En conclusion g croissante qui part de -oo à +oo => Il existe un
et un seul µ qui annule g.


Sens de variation de f:

1) Dérive f: à quelque chose près tu "retomberas" sur g => étude du
signe de f' => étude sur les variations de f (µ sera donc un
extremum de la fonction f)

  Le calcul des limites en 0 et +oo ne posent pas de problème.


A+



Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : etude fonction logarithme 01-10-03 à 18:42

g(x) = x²+lnx  
domaine d'existence de g(x): x dans ]0 ; oo[

g'(x) = 2x + (1/x)
g'(x) = (2x²+1)/x


g'(x) > 0 dans ]0 ; oo[ -> g(x) croissante.

lim(x->0+) g(x) = -oo
lim(x->oo) g(x) = +oo

Et donc des 3 lignes précédente, on conclut que la courbe représentant
g(xà coupe l'axe des abscisses en un et un seul point pour x
dans ]0 ; oo[.
Donc g(x) s'annule pour un unique réel, soit µ ce réel.

g(x) < 0 pour x dans ]0 , µ[
g(x) = 0 pour x = µ
g(x) > 0 pour x dans ]µ ; oo[
-----------------
f(x) = x² + ln²(x)
f '(x) = 2x + (2ln(x))/x
f '(x) = 2(x² + ln(x))/x
f '(x) = 2.g(x) / x
Et comme x > 0 (puisque dans ]0 ; oo[) -> f '(x) a le signe de
g(x)

f '(x) < 0 pour x dans ]0 , µ[  -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = µ
f '(x) > 0 pour x dans ]µ ; oo[  -> f(x) croissante.
f(x) a un minimum en x = µ  

On trouve µ en annulant g(µ)
µ²+lnµ = 0
On trouve par approximations successives: µ = 0,6529...
----------------
  
Soit P un point de h(x) = ln(x), les coordonnées de P sont:
-> P(X ; ln(X))
O(0 ; 0)

|OP| = racine(X²+ln²(x))
Et donc |OP sera minimum en même temps que f(x) = x² + ln²(x) soit pour
x = µ =  0,6529...
-> P(µ ; ln(µ)) avec µ =  0,6529...
---------------
Sauf distraction.



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