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Etude par récurrence d'une suite
Bonjour à tous. Je suis en Terminal S et je rencontre quelques difficultés dans mon devoir de math.
Voici le sujet:
Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par
u1=1/2
un+1= ((n+1)/2n)*un
1. Calculer u2,u3 et u4.
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est strictement positif
b. Démontrer que la suite (un) est décroissante
c. que peut on en déduire pour la suite (un)?
3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose
vn= un/n
a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme v1
b. En déduire que pour tout entier naturel n non nul,
un=n/2^n
Où j'en suis :
1. J'ai utilisé deux techniques qui me donnaient pas les même résultats.
La première j'ai utilisé la formule de l'énoncé ce qui m'a donné: u2=1/2, u3=3/8 et u4= 1/4
et la deuxième j'ai simplifié la formule ce qui me donnait un+1=un/2 et comme résultats u2= 1/4; u3= 1/8 et u4= 1/16
Pour les autres questions je n'ai fais que l'initialisation mais pas l'héridité.
2.a Initialisation
On a u1=1/2
Or 1/2>0
Donc P(1) est vraie
b. Initialisation
On a u1=1/2 et u3= 3/8
Or u3 Donc P(1) est vraie.
Initialisation 2
On a u1=1/2 et u2=1/4
or u2<u1 Donc p(1) est vraie.
3. a. Je sais qu'il faut faire vn+1=un+1/n+1 mais je ne sais pas si j'ai le droit de remplace mon un+1 par la forme "simplifié" que j'ai trouvé au début.
Voilà! Bonne soirée!
Bonjour,
1) ce qui est correct: u2=1/2, u3=3/8 et u4= 1/4
Après je vois pas trop comment tu as simplifié ta formule...
2) a) tu fais une récurrence "générale".
c'est vrai pour n=1, tu supposes que c'est vrai au rang n et tu démontres que c'est vrai au rang n+1.
b) tu étudies la différence u(n+1) - u(n).
c) tu calcules sa limite qd n->+inf
Bonsoir,
Merci de m'avoir répondu!
1) Oui l'autre version n'est pas vraiment cohérente en fait.
2) a. C'est là où le problème se pose, je ne vois vraiment pas comment faire.
Le un+1 est déjà donné, donc on l'utilise pour l'hérédite ou on doit faire un+2?
b. un+1-un donc je dois faire ((n+1)/2n)*un - un et c'est tout?
a) pour n=1, c'est vrai
supposons vrai au rang n càd un> 0.
Vérifions pour un+1
un+1= ((n+1)/2n)*un
un est strictement positif donc un+1 > 0 si et seulement si (n+1)/2n > 0. n+1>0 et 2n > 0 donc c'est vrai.
b) tu dois démontrer que un+1<= un
2- a. Voilà ce que j'ai essayé de faire:
Initialisation: On a P(1)= 1/2
Or 1/2 est supérieur à 0
Donc P(1) est vraie
Hérédité: On pose P(n) vraie et on veut démontrer que c'est vrai pour P(n+1)
n>0
n+1>1
n+1/2n>1/2
((n+1)/2n) *un>1/2
Même si ça me parait un peu faux.
n+1>1
n+1/2n>1/2 ??? comment fais-tu pour arriver à cette ligne ?
tu dois utiliser la définition de un+1 pour la démonstration.
Bon je pensais pas que ça pouvait être aussi simple, je me suis compliquée la vie. Merci!
b. Je sais pas si j'ai un problème niveau cérébral mais je ne vois absolument pas comment faire ça
Je viens d'essayer
On pose P(n) vraie pour un certain rang n
On montre que P(n+1) est vraie
P(n) un+1<=un
avec un décroissante
Donc un+2<=un+1
P(n+1) est vraie?
Je viens d'essayer autre chose encore
un+1-un= ((n+1)/2n)*un - (un)
= un*((n+1)/2n)- (un)
= un*((n+1)/2n)-(2n*un)/2n
= un*(n+1-2n)/2n
=un(1-n)/2n
Vu que c'est 1-n c'est décroissant..?
bon début.
tu dois montrer que un(1-n)/2n <= 0
on sait que u(n) est strictement positif (question précédente) donc
il faut que (1-n)/2n <= 0 ce qui est vrai pour n>= 1
D'accord! Merci!
Pour la question c vous m'aviez dis qu'il fallait calculer la limite quand n tend vers +infini. C'est la limite de un+1 qu'il faut calculer?
Puis pour la question 3 voilà ce que j'ai trouvé:
a.
vn=un/n
V(n+1)= ((n+1)/2n)*un* (1/n+1)
= 1/2n * un
= un/2n= un/n*1/2
= vn*1/2
V(n+1)-V(n)= 1/2
q= 1/2 = 1/2^n
b.
un=vn*n
=n*(1/2)^n
un= n/2^n
en relisant j'ai vu une une erreur de calcul sur le 2b:
un+1-un= ((n+1)/2n)*un - un= un*[(n+1)/2n - 1]
un est strictement positif donc un+1 > 0 si et seulement si (n+1)/2n - 1> 0.
Bonjour , je sais qu'il est un peu tard pour répondre mais ça peut toujours servir à d'autres élèves qui auront cet exercice en DM ou autre.
Pour le 2c)
Il faut pas calculer la limite mais utiliser le théorème de la convergence monotone.
Comme Un est une suite décroissante et strictement positive alors elle est convergente.
Voilà.
Tchuss.
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