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Etude rapide d une fonction exponentielle
Bonjour !
Mon problème va vous paraitre très simple, en fait la réponse m'importe peu (enfin un peu quand même, c'est pour un dm XD), mais ce que je voudrais surtout c'est la rédaction du théorème des valeurs intermédiares, car j'ai beaucoup de mal avec.
J'étudie une fonction auxiliaire (c'est une première pazrtie du dm).
g est définie sur R avec g(x) = 2e^x + 2x - 7
1) Etudier les limites en + et - l'infini (pas dur, aucune forme indeterminée)
2) Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.
On calcul la dérivé g'(x) = 2e^x + 2
Elle ne s'annule pas sur R, donc g'(x) toujours positive et g(x) strictement croissante sur R
Après, mon problème vient.
3) Justifier que l'équation g(x) = 0 admet dans R une solution unique alpha telle que alpha compris entre 0.940 et 0.941
Une unique solution ce n'est pas dur: elle est strictement croissante.
Par contre pour démontrer qu'elle est entre 0.940 et 0.941, je bloque.
Pourriez vous m'aider ?
Et, eventuellement me mettre sur la voie de la question 4 qui est "Etudier le signe de g sur R".
Merci beaucoup !
bonjour
simplement en calculant f(0.94) < 0 et f(0.941) > 0
donc il existe alpha compris entre 0.94 et 0.941 tel que f(alpha)=0 puisque f est continue croissante
Philoux
Ah oui, en effet, merci !
Et, pourrais-tu me rappeller la méthode pr caclculer le signe d"une fonction ?
Je décompose en produit de facteurs et je fais un tableau de signe ?
Merci ^^
3)
Lorsqu'on sait qu'une fonction g(x) est monotone sur un intervalle et que la fonction prend des signes différents aux 2 extrémités de l'intervalle, alors il y a une et une seule valeur alpha de x dans cet intervalle pour laquelle g(x) = 0.
On essaie de trouver une valeur de x pour laquelle g(x) est < 0.
et on essaie de trouver une valeur de x pour laquelle g(x) est > 0.
Par exemple:
g(0) = 2 - 7 = -5
g(1) = 2e+2-7 = 0,4... > 0
--> alpha est dans ]0 ; 1[
(On vise au milieu de ]0 ; 1[, soit 1/2
g(0,5) = -2,7... < 0
et donc alpha est dans ]0,5 ;1[
g(0,75) = -1,2... < 0
et donc alpha est dans ]0,75 ;1[
g(0,87) = -0,4... < 0
et donc alpha est dans ]0,87 ;1[
g(0,93) = -0,07... < 0
et donc alpha est dans ]0,93 ;1[
g(0,96) = 0,14... > 0
et donc alpha est dans ]0,93 ; 0,96[
g(0,945) = 0,03... > 0
et donc alpha est dans ]0,930 ; 0,945[
g(0,937) = -0,02... < 0
et donc alpha est dans ]0,937 ; 0,945[
g(0,941) = 0,07... > 0
et donc alpha est dans ]0,937 ; 0,941[
g(0,939) = -0,007... < 0
et donc alpha est dans ]0,939 ; 0,941[
g(0,940) = -0,00003... < 0
et donc alpha est dans ]0,940 ; 0,941[
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C'est la méthode par approximations successives dichotomique.
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4)
Comme g(x) est groissante, on a donc:
g(x) < 0 pour x dans ]-oo ; alpha[
g(x) = 0 pour x = alpha.
g(x) > 0 pour x dans ]alpha ; oo[
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Sauf distraction. 
D'accord, merci pour cette expliation précise J-P
Je vais affiner ma rédaction en fonction de ce que tu viens de me dire.
Et, pour étudier le signe de g(x), je dois faire comment ?
Car, il faut à mon avis "juste" trouver g(x) = 0 après vu qu'on sait qu'elle est strictement croissante, on peut définir son signe.
Mais, je ne vois pas comment trouver ça...
Je l'ai fait dans ma réponse, essaie de la comprendre.
alpha est la valeur de x pour laquelle g(x) = 0 et g(x) est strictment croissante.
alpha est dans ]0,940 ; 0,941[
Tout est là pour conclure sur le signe de g(x) comme je l'ai fait en fin de ma première réponse.
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En effet, je n'avais pas compris cela comme ça !
Je vais me refaire l'exo sur un autre brouillon pour voir si tout va bien, et attaquer après la parie deux
Merci beaucoup
Donc, j'ai continué le devoir.
J'étudie maintenant la "vraie" fonction qui est:
f(x) = (2x-5)(1-e^-x)
La première question est d'étudier le signe de f.
J'ai fait quelque chose, mais ça me parait super long, y aurait-il un moyen de racourcir tout ça ?
En fait:
J'ai dit que 2x-5 strictement croissante sur R
Donc j'en ai déduit le signe.
J'ai dit que 1-e^-x strictmeent croissante sur R, donc j'ai ai déduit le signe.
Ensuit j'ai fait un tableau de signe pour avoir le signe de f.
Ca me semble bien, mais j'ai deux failes:
dois-je justifier via les dérivés que mes deux fonctions sont strictement croissante ?
Car là ce serai vraiment long et je ne vois pas comment faire autrement.
Merci !
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