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Etudes d une fonction
bonjour,
j'ai de grosse difficultés à resoudre ce problème, vous seriez sympa de m'aider à y voir plus clair. Merci d'avance
A.
je dois étudier la fonction g(x)=x^2+1-lnx
1. calculer la fonction dérivée de g et étudier son signe
2. Donner le tableau de variation de g. En déduir le signe de g(x) sur l'intervalle 0;+ l'infini ouverts.
B.
ENSUITE toujours dans le meme exercice:
soit la fonction f définie sur 0;+ l'infini ouverts par
f(x)= x+1/2+(lnx/x)
1. a. determiner la limite de f en 0.
Iinterpréter graphiquement ce résultat.
b. déterminer la limite de f en (+ l'infini)
2. a. Montrer que, pour tout x de l'intervalle )0;+ l'infini( ouverts f'(x)= ( g(x))/(x^2)
b. en déduire le tableau de variation de f.
ps: qu'est ce qu'un encadrement d'amplitude?
Merci à tous. Bisous
Marion
Bonjour,
Pour g(x), la dérivée est (2x2-1)/x.
Pour trouver le signe de la dérivée, il faut chercher quand 2x2-1 s'annule. C'est pour x=
2/2.
Donc sur ]0;2/2[, la dérivée est négative. Et sur ]2/2;+infini[, la dérivée est positive. Donc g décroît puis croît.
Pour le signe de g, il faut calculer g(2/2) et voir si c'est positif ou négatif. C'est positif puisque c'est égal à 0,5*(3-ln2).
Donc comme le minimum de la fonction est positif, g est strictement positive sur l'intervalle ]0;+infini[.
Pour la partie A) :
En tant que somme de fonctions définies et dérivables sur ]0 ; +infini[, la fonction g est dérivable sur ce même intervalle et tu vas trouver que :
g'(x) = 2x - 1/x
g'(x)=0 pour x=/2
g'(x)<0 et g strictement décroissante sur ]0 ; /2[
g'(x)>0 et g strictement croissante sur ] /2 ; +infini [
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