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Études de signe de fonctions.

Posté par
matheux14 15-08-20 à 09:01

Bonjour ,

Merci d'avance.

f est une fonction de \R vers \R.

Dans chacun des cas ci-dessous , étudier suivant les valeurs de x :

a) f(x)=5x-4\sqrt{x²+81}

b) 3x-2\sqrt{3(x²-1)}

Réponses

a) J'ai d'abord étudier le signe de 5x.

5 > 0 , on a x\in]-\infty;0] ,5x\leq 0 et

x\in [0;+\infty[ , 5x\geq0.

On sait que x\in \R , -4\sqrt{x²+81} < 0 car -4 <0 et \sqrt{x²+81} >0.

Au final j'ai trois ensembles , mais je ne sais pas comment les gérer..

Posté par
malou Webmasterre : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 09:20

Bonjour, je ne fais que passer...
et si tu utilisais ce que tu faisais hier dans ton précédent exercice ? ....

Posté par
matheux14re : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 09:44

L'intersection des 3 ensembles ?

Posté par
heklare : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 10:28

Bonjour

Je pense que malou ( bonjour) fait allusion au sujet équation et inéquation

On ne peut rien dire de la somme de deux réels

Posté par
matheux14re : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 10:57

Du coup on n'y peut rien .. ?

Posté par
heklare : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 11:05

Vous avez résolu maintes inéquations sur le fil   Équations et inéquations irrationnelles dans R.

Pour déterminer le signe  il suffit de résoudre  5x-4\sqrt{x^2+81}>0

Sur le complémentaire  dans \R  de cet ensemble solution  l'expression sera négative.

Posté par
matheux14re : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 11:45

Ah d'accord, j'arrive à ]12;+∞[ ..

Le complémentaire de cet ensemble dans \R est : ]-∞ ;12[ .

Donc x\in ]12;+\infty[ , f(x) > 0 et   x\in ]-\infty ;12[ , f(x) < 0

Posté par
heklare : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 12:05

Oui  

  \sqrt{a}< b\iff(a< b^2 \text{ et } a\geqslant0 \text{ et } b\geqslant0)

x>0  et [tex ]x\geqslant 12  [/tex] et si x\leqslant  0 on a la somme de deux nombres négatifs donc elle est bien négative

Posté par
matheux14re : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 12:14

Et pour la 2e question , même scénario ..

Et il vient

x\in ]1 ;2[ , f(x) > 0 et

x\in ]-\infty ;1[ \cup ]2;+\infty[ , f(x) < 0.

Posté par
heklare : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 13:15

Le radicande n'est pas toujours positif   cela n'a de sens que si x\leqslant -1  ou x\geqslant 1

Posté par
matheux14re : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 13:23

Oui , une erreur de frappe ..

x\in [1 ;2[ , f(x) > 0 et

x\in ]-\infty ;1] \cup ]2;+\infty[ , f(x) < 0.

Posté par
heklare : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 14:29

3x-2\sqrt{3(x^2-1)}>0 \iff \sqrt{3(x^2-1)}<\dfrac{3}{2}x


a>0 \iff x^2-1>0 \iff  (x <-1  \ \text{ou  }x>1)

b \geqslant 0  \iff  x\geqslant 0

3(x^2-1) <\dfrac{9}{4}x^2 \iff  x^2<4

d'où x\in[1~;~2[

Posté par
heklare : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 14:37

si  x \leqslant -1  toujours négatif

entre -1 et 1 pas de sens

x \geqslant [1~,~2[  positif


x\geqslant 2 négatif

illustration

Études de signe de fonctions.

Posté par
matheux14re : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 15:44

... Sur [1 ; 2[  , f(x) ≥0

Le complément de [1 ; 2[ sur \R est ]-∞ ; 1] U ]2 ;+∞[.

Donc Sur ]-∞ ; 1] U ]2 ; +∞[ , f(x) ≤0

Posté par
heklare : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 16:00

Non car il faut que la fonction soit définie  

Pour 0 la fonction n'a pas de signe, elle n'existe pas.

Sur le graphique  il y a un intervalle où la courbe n'est pas dessinée.

Posté par
matheux14re : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 16:28

Ahh oui ,

Donc sur ]-∞ ; -1] U [1 ; +∞[  , f(x) ≤ 0.

Posté par
matheux14re : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 16:30

Ahh oui ,

Donc sur ]-∞ ; -1] U ]1 ; +∞[  , f(x) ≤ 0.

Posté par
heklare : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 16:43

On va finir par y arriver  

1) on a montré que l'expression était positive sur [1~;~2]

2) conséquemment,  partout ailleurs, à la condition que cela ait un sens,  négatif


L'expression  a un sens uniquement  sur ]-\infty~;~-1] \cup[1~;~+\infty[

On a donc  :

si  x\in]-\infty~;~-1]  l'expression est négative  

si x\in ]-1~;~1[ pas question de signe puisque l'expression n'a pas de sens

si x\in ]-1~;~2[ l'expression est positive

Si x\in[2~;~+\infty[ l'expression est négative.

Posté par
matheux14re : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 16:56

Conclusion :

x\in[1 ; 2] , f(x)≥0

Et x \in ]-∞ ; -1] U [2; +∞[ , f(x) ≤ 0

Posté par
heklare : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 17:00

Écrit autrement  mais c'est bien cela.

Posté par
matheux14re : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 17:07

Merci

Posté par
heklare : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 17:28

De rien

Posté par
carpediemre : Études de signe de fonctions. 15-08-20 à 17:46

salut

matheux14 @ 15-08-2020 à 09:01

f(x) = 5x - 4\sqrt{x^2 + 81} sur R

J'ai d'abord étudier le signe de 5x.
Au final j'ai trois ensembles , mais je ne sais pas comment les gérer..

il y a avait effectivement une idée intéressante ... mais mal exploitée ...

1/ une racine carrée est positive donc le second terme de f est négatif

2/ 5x est évidemment négatif sur R- et positif sur R+ (inutile de faire le moindre calcul : en première on l'affirme)

donc on pouvait tout de suite conclure que f est négative sur R- (comme somme de deux nombres négatifs)

il reste ensuite le cas x \in \R^+ \iff x \ge 0 à traiter comme dans l'autre fil ... en sachant que \red x \ge 0

donc f(x) \ge 0 \iff 0 \le 4 \sqrt {x^2 + 81} \le 5x \Longrightarrow 0 \le 16(x^2 + 81) \le 25x^2 \iff x^2 - 12^2 \ge 0 \iff ...


et idem pour le b/


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