Bonjour,
voici un de mes exercices que je dois faire à savoir :
Fin 2020, un club de rugby comptait 7000 abonnés. A la fin de chaque année, le club constate que 20 % des abonnés ne se réabonnent pas et que 4000 nouveaux abonnés arrivent. On note a_n le nombre d'abonnés à la fin de l'année 2020 + n
1) Préciser a₀ et expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n, a_n+1 = 0,80 a_n + 4000
2) Démontrer que la suite (a_n est majorée par 20000
3) démontrer que la suite (a_n est croissante
4) En déduire la convergence de la suite (a_n)
Voici ce que j'ai fait pour l'instant :
1) a₀ = 7000 (nombre d'abonnés de départ)
on sait qu'il y a 20 % de personnes qui ne se réabonnent pas donc 80 % des personnes se réabonnent (soit 0,80  = 0,80 a_n augmenté de 4000 abonnés (+ 4000 ) donc pour tout nombre entier naturel n, on a : a_n+1 = 0,8a_n + 4000
2) je galère à démontrer quand la suite est minorée ou majorée
j'ai fait :
montrons par récurrence que la suite (a_n est majorée par 20000 c'est-à-dire montrons la propriété a_n20000 pour n entier naturel
initialisation : la propriété est vraie pour n=0 car a_n= 7000 et 700020000
hérédité : On suppose que pour un entier naturel p, a_p20000
démontrons que sous cette hypothèse, a_p+120000
d'après l'hypothèse de récurrence : a_p20000 donc en multipliant par 0,8 on obtient 0,8a_p0,8 * 20000 et en ajoutant 4000 on obtient : 0,8 a_{p+40000,8*20000+4000 Soit encore a[sub]p+1}2000  La propriété est héréditaire.
conclusion : la propriété est initialisée (pour n=0) et héréditaire à partir de ce rang donc, par principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier n c'est-à-dire : a_n20000 pour tout n de
3) on cherche le signe de a_n+1-a_n en utilisant la réponse au-dessus
pour tout entier n, a_n+1-a_n= 0,8a_n+4000-a_n= 4000-0,2a_n= 0,2(20000-a_n) Or d'après la question précédente, a_n20000 donc 20000-a_n0 et par suite, 0,2(20000-a_n)0. La suite (a_n) est donc croissante.
4) comme la suite (a_n) est majorée et croissante elle est donc convergente.

Merci de me dire ce que vous en pensez