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Etudier le signe d'une suite

Posté par
celia1609
22-04-21 à 21:32

Bonjour dans un exercice je dois étudier le signe de la suite (In) en faisant exp[(n+1)x²]-exp(nx²) mais je suis bloquée... Est-ce que quelqu'un peut m'aider svp ?

Posté par
Zormuche
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 21:39

Bonjour
Peux-tu être plus claire stp

c'est quoi ta suite ?

"faire" exp[(n+1)x²]-exp(nx²) ça ne veut rien dire de particulier

Posté par
celia1609
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 21:47

Voici l'énoncé:
Soit (In) le suite définie sur N* par: In=∫1;2fn(x)dx où fn(x)=exp(nx²) pour tout réel x de [1;2].
Je dois étudier le sens de variation de la suite (In) du coup je voulais faire U(n+1)-Un.

Posté par
celia1609
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 21:57

Zormuche @ 22-04-2021 à 21:39

Bonjour
Peux-tu être plus claire stp

c'est quoi ta suite ?

"faire" exp[(n+1)x²]-exp(nx²) ça ne veut rien dire de particulier


Voici l'énoncé:
Soit (In) le suite définie sur N* par: In=∫1;2fn(x)dx où fn(x)=exp(nx²) pour tout réel x de [1;2].
Je dois étudier le sens de variation de la suite (In) du coup je voulais faire U(n+1)-Un.

Posté par
Zormuche
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 21:59

Tu peux factoriser e^{(n+1)x^2}-e^{nx^2}  pour trouver le signe
rappelle-toi aussi que x est dans [1,2], donc positif a fortiori

Posté par
celia1609
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 22:01

Zormuche @ 22-04-2021 à 21:59

Tu peux factoriser e^{(n+1)x^2}-e^{nx^2}  pour trouver le signe
rappelle-toi aussi que x est dans [1,2], donc positif a fortiori


Oui je sais c'est ce que je cherche à faire mais c'est ici que je bloque...

Posté par
Zormuche
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 22:36

commence par écrire :
e^{(n+1)x^2} ~=~ e^{nx^2 + x^2}

Posté par
celia1609
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 22:39

Zormuche @ 22-04-2021 à 22:36

commence par écrire :
e^{(n+1)x^2} ~=~ e^{nx^2 + x^2}


pourquoi avez-vous rajouté un x²? je ne comprends pas...

Posté par
Zormuche
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 22:40

parce qu'à gauche, il n'y avait pas seulement  nx^2
j'ai juste développé ce qu'il y avait à l'intérieur de l'exponentielle

Posté par
celia1609
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 22:42

Zormuche @ 22-04-2021 à 22:40

parce qu'à gauche, il n'y avait pas seulement  nx^2
j'ai juste développé ce qu'il y avait à l'intérieur de l'exponentielle

a oui d'accord mais après je ne vois pas comment faire...

Posté par
Zormuche
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 22:49

La fonction exponentielle est strictement croissante, donc :

A<B \quad \Leftrightarrow e^A<e^B

comparer  nx^2  et  nx^2+x^2

Posté par
celia1609
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 22:54

Zormuche @ 22-04-2021 à 22:49

La fonction exponentielle est strictement croissante, donc :

A<B \quad \Leftrightarrow e^A<e^B

comparer  nx^2  et  nx^2+x^2


x²>0 donc nx²+x²>nx² ?

Posté par
Zormuche
re : Etudier le signe d'une suite 22-04-21 à 23:40

Oui, c'est ça. Et ensuite ?

Posté par
celia1609
re : Etudier le signe d'une suite 23-04-21 à 11:15

Zormuche @ 22-04-2021 à 23:40

Oui, c'est ça. Et ensuite ?


ensuite on a nx²+x²-nx²<=0
donc x²<=0 or la fonction carré est strictement positive sur R donc ce n'est pas possible que U(n+1)-Un est positif ou nul donc la suite est strictement croissant.
Est-ce que c'est ça ?

Posté par
Zormuche
re : Etudier le signe d'une suite 23-04-21 à 11:20

Pourquoi est-ce que tu écris :  nx^2+x^2-nx^2 \le 0  ?  d'où vient le négatif ?

Revenons sur ce que je te propose : tu es arrivée à  \forall x\in[1,2]\quad nx^2<(n+1)x^2   

Maintenant, tu passes à l'exponentielle, et l'exo est quasi terminé

Posté par
Zormuche
re : Etudier le signe d'une suite 23-04-21 à 11:22

Remarque : pour montrer le sens de variation d'une suite, on a l'habitude de déterminer le signe de  u_{n+1}-u_{n}

Mais là, ce que je te fais faire, c'est directement comparer  u_n  et  u_{n+1} , cela revient à la même chose

Posté par
celia1609
re : Etudier le signe d'une suite 23-04-21 à 13:01

Zormuche @ 23-04-2021 à 11:20

Pourquoi est-ce que tu écris :  nx^2+x^2-nx^2 \le 0  ?  d'où vient le négatif ?

Revenons sur ce que je te propose : tu es arrivée à  \forall x\in[1,2]\quad nx^2<(n+1)x^2   

Maintenant, tu passes à l'exponentielle, et l'exo est quasi terminé


Du coup en résumé:
comme x²>=0 on a nx²+x²>nx²
donc pour tout x appartenant [1;2] nx²<(n+1)x²
et donc exp(nx²)<exp[(n+1)x²]
donc la suite est croissante.

Posté par
Zormuche
re : Etudier le signe d'une suite 23-04-21 à 13:46

Non, ce n'est pas tout

Ta suite ce n'est pas juste cette fonction, c'est l'intégrale de cette fonction sur [1,2]

Mais l'inégalité que tu as montrée est vrai pour tout x de [1,2]
Avec ça, on peut conclure :

Si f(x)<=g(x) pour tout x de [a,b], alors :. \int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx

Posté par
celia1609
re : Etudier le signe d'une suite 23-04-21 à 13:57

Zormuche @ 23-04-2021 à 13:46

Non, ce n'est pas tout

Ta suite ce n'est pas juste cette fonction, c'est l'intégrale de cette fonction sur [1,2]

Mais l'inégalité que tu as montrée est vrai pour tout x de [1,2]
Avec ça, on peut conclure :

Si f(x)<=g(x) pour tout x de [a,b], alors :. \int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx


A oui c'est vrai du coup je remplace f et g et je peux dire que ma suite est croissante.

Posté par
Zormuche
re : Etudier le signe d'une suite 23-04-21 à 13:58

Oui



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