Bonjour

C'est loin d'être évident. En gros la démarche est la suivante:

On prend un idéal maximal J du quotient et on note I son image réciproque dans R[X,Y]. On montre que I est engendré par X²+Y²+1 et par un polynôme du type aX+bY+c. On en déduit que J est principal et si on le sait pour les idéaux maximaux, alors l'anneau est principal.

Salut tout le monde,

Camélia >> Bien vu! J'y ai passé un bout de temps dessus mais sans succès. Et pour la non-euclidiennité, une idée?

Oui, la même que pour 1+i19/2 on cherche les inversibles et on voit que ça ne colle pas.

Pfiou ben bonjour le boulot. Parce que dans au moins on les "voit". Là c'est nettement moins visible.

Les inverses c'est R^* mais c'est loin d'être évident. De toute façon on ne donne pas ce truc sans indications.

Voici les questions intermédiaires:

1) Montrer que tout élément de A (je l'appelle A) s'écrit de manière unique P()+Q() où est la classe de X, celle de Y, et P et Q des polynômes de R[X]

2)Montrer que la donnée d'un morphisme de R-algèbre de A dans C² équivaut à la donnée d'un couple de complexes (x,y) tels que x²+y²+1=0.

3) En déduire que A^*=R^*