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EV / Dimension / Bases
Bonsoir à tous !
Nous commençons les chapitres sur les Espaces Vectoriels, avec les histoires de base, de dimension, etc..
Comme sur le chapitre des applications et des ensembles, c'est un peu abstrait et il faut acquérir rapidement une bonne rédaction. J'ai ici deux exos que j'arrive partielement à résoudre, si vous pouviez me donner un coup de main pour la rédaction et les idées, ça serait sympa :
1) Soit B une base d'un 
-espace de dimension finie n. Pour tout j
[1,n] on pose
e'j=.
Montrer que B'=(e'1,.....,e'n) est une base
Je n'ai aucune idée de la manière de procéder pour celui ci
2) On considère l'ensemble F des fonctions de classe infinie sur telles qu'il existe (a,b,c)3 vérifiant
x
Montrer que F est un espace vectoriel (ça j'ai fait, c bon)
Donner une base de F => je ne sais pas du tout comment faire, aidez moi !!
Merci d'avance
Bonne soirée 
Bonsoir.
1°) Ecrivons la matrice des coordonnées des par rapport aux
.
C'est une matrice P dont tous les termes diagonaux sont nuls et tous les termes non diagonaux égaux à 1. En ajoutant I, P+I = J a tous ses termes égaux à 1. On sait que J² = nJ, donc :
(P+I)² = n(P+I) entraine : P² - (n-2)P - (n-1)I = O. Ceci prouve que P est inversible (il est facile de transformer cette dernière formule en PQ = I). Conclusion B' est une base si n > 1.
2°) Les trois fonctions exponentielles fournissent déjà une famille génératrice de F. Ensuite on écrit :. En prenant successivement x = 0, x = 1 et x = 2 (par exemple) on arrive à un système en a,b,c. On doit parvenir à : a = b = c = 0 ce qui entraine que les fonctions
x
,
x
x sont indépendantes.
Cordialement. RR.
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