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Evolution du taux d'alcoolémie

Posté par
KingSama 11-01-17 à 15:12

Bonjour à tous, je suis bloqué sur un DM de maths, ci dessous l'énoncé:

Le taux d'alcoolémie (exprimé en g.L) dans le sang pour une personne est une fonction du temps t exprimée en heures (h).
On modélise cette fonction par la fonction f définie sur [0;6] par f(t)=ate^-kt, ou a et k sont 2 paramètres qui dépendent du poids de la personne et des aliments qu'elle a absorbés.
1)On suppose que le maximum du taux d'alcoolémie de cette personne est atteint au bout de 40min. Determiner alors le réel k.
2)La personne avait un taux d'alcoolémie d'environ 0,5g.L au bout de 20min apres le debut de l'absorption d'alcool. Determiner une valeur de a.

Je ne vois pas comment faire ces questions étant donner la fonction a 2 inconnues.
Merci d'avance

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 11-01-17 à 15:29

Bonjour

le maximum est obtenu lorsque la dérivée est nulle

que vaut-elle ?

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 11-01-17 à 15:48

Je trouve e^-kt-e^-kt*at en dérivée

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 11-01-17 à 15:57

non  il faut aussi factoriser

f=uv \ f'=u'v+v'u


u(t)=at \ u'(t)=a \qquad v(t)=\text{e}^{-kt}\quad v'(t)=-k\text{e}^{-kt}

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 11-01-17 à 17:14

D'accord donc on trouve: f'=e^-kt(a-atk)

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 11-01-17 à 17:31

on peut faire mieux dans la factorisation  

f'(t)=a\text{e}^{-kt}\left(1-kt\right)

maintenant vous savez que f'(2/3)=0  que vaut k ?

une remarque  mettez ici des parenthèses pour indiquer correctement ce qui est en exposant  f'(t)=e^(-kt)(a-atk)

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 11-01-17 à 18:46

3/2 ? Ou 0?

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 11-01-17 à 18:49

il n'y a pas le choix  vous avez à résoudre f'\left(\frac{2}{3}\right)=0 donc k=\dfrac{3}{2}

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 11-01-17 à 18:57

Dacc, donc pour la question 2 je resouds f(1/3)=0,5 ?

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 11-01-17 à 19:25

je résous  pas besoin de dé pour cela  pour coudre peut-être

oui après avoir remplacé k par sa valeur

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 14:40

Sauf que dans l'énoncé on ne me donne pas de valeur de k pour la question 2 appart que "La personne avait un taux d'alcoolémie d'environ 0,5g.L au bout de 20min apres le debut de l'absorption d'alcool". Comment je suis censé traduire cela ?

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 14:43

comme vous l'avez écrit 11/01 18:57 f(\frac{1}{3})=0,5

k étant la valeur trouvée à la question 1 soit \dfrac{3}{2}

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 14:50

J'ai trouvé a2,89
Cela vous semble juste ?

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 15:05

f\left(\dfrac{1}{3}\right)=a\times \dfrac{1}{3}\times \text{e}^{-\frac{3}{2}\times\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}

\dfrac{a}{3}\times \text{e}^{-1/2}= \dfrac{1}{2}

a=\dfrac{3\,\text{e}^{1/2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{\text{e}}}{2}\approx 2,473

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 15:08

Ha d'accord j'avais calculer par rapport à la dérivée comme pour la question une désolée!

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 15:13

dans votre texte il y a « une » valeur de a  Pourquoi ?
elle est bien unique

y a-t-il une suite  ?

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 15:18

Donc ensuite je dois étudier les variation de f,(Avec a=2.5 préciser dans la consigne) pour ça je dois calculer la dérivée de f(t)=2.5te^(-3/2x). Ce qui nous donne:
f'(t)=2,5e^((-3/2)t)*(1-(3/2)t) ?

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 15:25

f'(t)=a\text{e}^{-kt}\left(1-kt\right)

f'(t)=2,5\left(1-\dfrac{3}{2}t\right)\,\text{e}^{-\frac{3}{2}t}

au passage, vous pouvez vérifier que les valeurs de a et de k sont correctes puisque l'on vous fait étudier la fonction avec ces valeurs

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 15:37

Alors je trouve: f' est négatif sur
donc f est srtictement décroissant sur
Je pense que ce n'est pas bon par contre ... je ne trouve pas sa par rapport a la calculette
Je n'arrive pas a faire de tableau pour vous montrer...

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 15:43

le signe de f'(t)  est celui de 1-\dfrac{3}{2} t

puisque 2,5\text{e}^{-3/2t}>0 pour tout t


rappel le maximum est obtenu lorsque la dérivée est nulle
  c'est ce que vous avez utilisé  pour déterminer k

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 15:52

Ha oui pardon j'avais mal fait mon calcul donc j'obtient:
f'(t)= positif sur ]-inf;2/3] et négatif sur [2/3;+inf[
donc f est croissant sur ]-inf;2/3] et décroissant sur [ 2/3;+inf[ avec 3/2 le maximum atteint.

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 16:03

\large \color[RGB]{153,102,255} \text{la fonction} f \ \text{définie sur } [0;6]

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 16:04

Ensuite je dois déterminer l'intervalle de temps pour lequel une personne ne peut conduire c'est à dire supérieur ou égal a 0,5 g.L, donc je dois trouver f(t)0,5

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 16:14

vous avez rectifié votre tableau de variation  

je ne dirais pas «trouver» mais« résoudre»  f(t)\geqslant 0,5

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 16:25

Oui j'ai rectifié, par contre je ne vois pas comment résoudre l'équation, c'est l'exponentielle que me bloque...

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 16:31

TVI  ? ou lecture graphique  

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 16:36

Je peux dire que par lecture graphique on voit qu l'intervalle de temps ce situe entre 20 minutes et 1h20min (après j'ai fais quelque calcul pour montrer sa)

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 16:47

entre 20 min  résultat donné pour déterminer a   et 1h11min  (1,19 h)

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 16:55

D'accord, j'ai une dernière question, je dois écrire un algo qui détermine le temps minimum pour que le taux d'alcoolémie redevienne inférieur ou égal a 0.01, je suis pas très bon en algo alors si vous pouviez encore m'aidé

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 17:23

le graphique permet d'affirmer que le temps est supérieur à 4 heures

affecter à X la valeur 4
affecter à Y la valeur 2.5*X*e^(-1.5*X)
tant que y > 0.01
X reçoit X+0.01
Y reçoit 2.5*X*e^(-1.5*X)
fin tant que
afficher X

mais c'est tellement plus rapide avec la table d'une calculatrice !

Posté par
KingSamare : Evolution du taux d'alcoolémie 15-01-17 à 18:34

Oui haha merci beacoup en tout cas !

Posté par
anthog22re : Evolution du taux d'alcoolémie 23-02-17 à 13:19

hekla @ 15-01-2017 à 15:05

f\left(\dfrac{1}{3}\right)=a\times \dfrac{1}{3}\times \text{e}^{-\frac{3}{2}\times\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}

\dfrac{a}{3}\times \text{e}^{-1/2}= \dfrac{1}{2}

a=\dfrac{3\,\text{e}^{1/2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{\text{e}}}{2}\approx 2,473


Bonjour, comment obtient-on la racine carrée?
Merci d'avance.

Posté par
heklare : Evolution du taux d'alcoolémie 23-02-17 à 13:58

Bonjour

pour tout a>0\  a^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{a}

élevez au carré pour vous en convaincre

Posté par
anthog22re : Evolution du taux d'alcoolémie 23-02-17 à 16:07

Merci Beaucoup


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