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Ex suite

Posté par
Nearraa
19-09-21 à 13:16

Bonjours a tous, je me permet de déposer ce sujet car je me sent perdu effectivement j'ai un exo a faire et je ne sait comment résoudre la question b voici l'énoncé:
(Sn) est la suite définie pour tout entier naturel n 1, par :
  Sn = 1/n + 2/n+….+n/n

a) Justifier que S1=1, S2=1,5 et S3=2.

b)Démontrer que pour tout n 1, Sn = 0,5n+0,5.

c) En déduire la limite de la suite (Sn).

J'ai déjà la réponse a la question a et la question c, cela semble assez logique mais la question b me pose problème  je ne sait comment je peut obtenir 0,5n+0,5 avec ma formule de base.
Je vous remercie d'avance de votre aide.

Posté par
hekla
re : Ex suite 19-09-21 à 13:21

Bonjour

Mettez \dfrac{1}{n} en facteur  vous retrouverez alors la somme d'une suite connue

Posté par
Nearraa
re : Ex suite 19-09-21 à 13:26

En gros 1/n(2+3+4+…) ?

Posté par
hekla
re : Ex suite 19-09-21 à 13:32

Non  cela commence à 1

S_n=\dfrac{1}{n}\left(1+2+\dots+(n-1)+n\right)

La parenthèse est la somme des n premiers entiers naturels

Posté par
Nearraa
re : Ex suite 19-09-21 à 13:35

Ok mais ducoup je ne comprend pas comment trouver mon 0,5n+0,5
Le 1/n corresponrait au 0,5 qu'on multiplie au n en fin de parenthese? Si oui ou est le +0,5 je ne comprend pas

Posté par
hekla
re : Ex suite 19-09-21 à 13:39

Que vaut la somme des n premiers entiers naturels  ?

On peut aussi considérer que c'est la somme des termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1

Posté par
Nearraa
re : Ex suite 19-09-21 à 13:42

Je sait pas 1,2,3 ect jusque n donc sa vaut n?

Posté par
hekla
re : Ex suite 19-09-21 à 13:47

Rappel  si (u_n) est une suite arithmétique de premier terme u_1 et de raison r  alors

u_1+u_2+\dots+u_{n-1}+u_n=\dfrac{\text{nombre de termes}\times\left(\text{le premier }+\text{le dernier }\right)}{2}

Posté par
Nearraa
re : Ex suite 19-09-21 à 13:51

Donc en gros on as 1*n termes multiplier par 1+n le tout sur 2 se qui nous donne 1/2 x n + 1/2 ?

Posté par
hekla
re : Ex suite 19-09-21 à 13:54

1+2+\dots+n-1+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

Maintenant retour à S_n

Posté par
Nearraa
re : Ex suite 19-09-21 à 14:01

Je ne comprend pas si on distribue on as n2+1n le tout divisé par 2 le n/2 nous donne 0,5n mais le n2/2 ne nous donne pas 0,5 je suis perdu la

Posté par
hekla
re : Ex suite 19-09-21 à 14:05

S_n=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n\times (n+1)}{n\times 2}

Simplifiez

Posté par
Nearraa
re : Ex suite 19-09-21 à 14:09

D'accord concrètement le n en haut et le n en bas se simplifie se qui nous donne donc (n+1)/2  soit n/2=0,5n+1/2 soit 0,5n+0,5 ok je comprend mieux

Posté par
hekla
re : Ex suite 19-09-21 à 14:21

soit n/2=0,5n+1/2  Non l'égalité est fausse

\dfrac{n+1}{2}=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{2}=0,5n+0,5



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