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Exercice 3 en un. (Système inéquation, dérivée et convexité)
Bonsoir à tous, je dois rendre un DM lundi prochain et je dois vous dire que je n'arrive pas à m'avancer ...
Alors, soit la fonction définie sur l'intervalle ]-2 ; +infini[ par f(x) = ax + b + c/(x+2) et Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.
La courbe Cf passe par les 3 points A(0;7/2) , B(1;7/2) et D(4 ; 5/2)
a) Déterminer les constantes a, b et c. En déduire l'expression de f(x) en fonction de x.
b) Calculer la dérivée de f.
c) Etudier la convexité de f/
a)
Je réalise un système d'inéquations à 3 inconnus comme suit :
b + C/2 = 7/2
a+b+ c/3 = 7/2
4a + b + c/6 = 5/2
Par le biais des matrices je trouve a = -0.5 , b = 5 et c = -3
Donc la fonction s'écrit : f(x) = -0.5x + 5 + -3/(x+2)
Par contre, il faut que je fasse le système aussi à la main, et je n'y arrive pas/
Je simplifie en arrivant à :
2b + c = 7
4a + 4b + c = 14
24a + 6b + C = 10
(J'ai simplifier en multipliant toutes les lignes pour enlever le dénominateur de C)
Que puis-je faire maintenant ?
2)
Pour la dérivée, je me demande si je commence bien :
f'(x) = -0.5 + [(-3x1)-(x+2)*0/(x+2)²]
Je continue ?
Merci d'avance pour vos réponses !
Salut StormTK9,
Ah oui effectivement, merci de m'avoir corrigé ! J'avoue que je suis un peu du genre à faire des petites fautes d'étourderies qui fausse tout le calcul ...
Et maintenant, j'aimerais bien d'un petit coup de main pour trouver au moins un des inconnus pour pouvoir facilement trouver les 2 restants ... Mais par où puis-je commencer ? Merci 
D'accord, je vais d'abord isoler le C :
2b - 7 = C
3a+3b+c = 10.5
24a+6b+C=15
-------------
2b-7 = C
3a+3b+(2b-7) = 10.5
"
-------
2b-7 = C
3a+5b-7 = 10 .5
---------
2b-7=C
3a+5b = 17.5
-----------------
Je ne vois pas ce que je pourrais faire ensuite 
Tu as c = 2b-7
Isole maintenant a dans ta 2e équation en fonction de b
Ensuite tu remplaceras dans la dernière équation.
Attention....
2b + c = 7
soit c = 7 -2b
on reporte c dans les 2 autres équations et on obtient un système 2 équations à 2 inconnues a et b
Merci
c = 7-2b
3a+3b+7-2b= 10.5
---
c = 7-2b
3a + b = 3.5
---
c = 7-2b
b = 3.5/a
---
c = 7-2b
b = 3.5/a
24a+6b+C=15
---
c = 7-2b
b = 3.5/a
24a + 6(3.5/a) + [7-2(3.5/a)] = 15
---
c = 7-2b
b = 3.5/a
24a + 21/a + 7- 7/a = 15
---
c = 7-2b
b = 3.5/a
24a + 21/a - 7/a = 8
---
Jusqu'à là ça va ? Si oui, et maintenant ? 
c = 7-2b
3a + b = 3.5
---
c = 7-2b
b = 3.5/a
houlala....
par quelle opération ?
3a + b = 3.5
c'est une addition que je sache
c = 7-2b
3a+3b+7-2b= 10.5
---
c = 7-2b
3a + b = 3.5
---
c = 7-2b
b = 3.5/3a
---
c = 7-2b
b = 3.5/3a
24a+6b+C=15
---
c = 7-2b
b = 3.5/3a
24a + 6(3.5/3a) + [7-2(3.5/3a)] = 15
---
c = 7-2b
b = 3.5/3a
24a + 21/3a + 7- 7/3a = 15
---
c = 7-2b
b = 3.5/3a
24a + 21/3a - 7/3a = 8
---
Voilà, et maintenant ?
c = 7-2b
3a + b = 3.5
---
c = 7-2b
b = 3.5/a
houlala....
par quelle opération ?
3a + b = 3.5
c'est une addition que je sache
Oh la la la ... Oui
Ca doit être le symptôme du vendredi soir .. !
Dommage qu'il n'y ait pas la fonction éditer pour que je puisse rattraper mes bourdes.
c = 7-2b
3a+3b+7-2b= 10.5
---
c = 7-2b
3a + b = 3.5
---
c = 7-2b
b = 3.5 - 3a
---
c = 7-2b
b = 3.5 - 3a
24a+6b+C=15
---
c = 7-2b
b = 3.5 - 3a
24a + 6(3.5-3a) + [7-2(3.5-3a)] = 15
---
c = 7-2b
b = 3.5 - 3a
24a + 21-18a + 7- 7 - 6a = 15
---
c = 7-2b
b = 3.5-3a
0a + 21 = 15
---
0a = -6
Whaaaaaat ?
tu fais ton système sur ton papier, et qd tu arrives à la fin tu te vérifies avec geogebra ou autre
cela ne sert à rien d'enfiler comme systèmes sur systèmes...
je quitte pour ce soir, ....
c = 7-2b
b = 3.5 - 3a
24a + 21-18a + 7- 7 + 6a = 15
---
c = 7-2b
b = 3.5-3a
12a + 21 = 15
---
12a = -6
---
a = -6/12
= -0.5
Allez je sors le champagne pour cette première étape !
Me voilà de retour,
J'ai pu facilement aller au bout du système puisque je connaissais déjà au moins un inconnu.
Maintenant je peux dériver ma fonction f(x) = -0.5x + 5 + -3/(x+2)
Ce qui me fait f'(x) = -1/2 + -3/(x+2)²
= -x²-4x-4/2(x+2)² + -3*2/2(x+2)²
= -x²-4x-10/2(x+2)²
Est-ce correct ?
Rebonjour Malou,
Pour pouvoir dériver -3/(x+2), j'utilise la formule (uv'-u'v)/v²
J'ai U = -3 et U' = 0
V = x+2 et V' = 1
Donc f'(-3/(x+2)) = [(-3*1) - 0(x+2)]/ (x+2)²
= -3/(x+2)²
Ah oui effectivement, merci de la correction Malou,
J'ai donc recalculer et ca me fait donc
f'(x) = -1/2 + 3/(x+2)²
= (-x²-4x-4)/2(x+2)² + 6/2(x+2)² -> Je les ai mises sur le même dénominateur
= (-x² - 4x +2)/2(x+2)²
Je peux maintenant faire mon tableau ?
alors oui, c'est juste
mais personnellement, je ne fais pas ainsi
je réduis au même dénominateur, mais je ne développe pas
f'(x) = -1/2 + 3/(x+2)² =
ainsi au numérateur j'ai une différence de deux carrés, que je factorise, et qui me permet d'obtenir facilement les valeurs qui annulent la dérivée et son signe (sans utiliser le discriminant, etc)
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