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exercice

Posté par
perpignan
17-02-12 à 17:47

bonjour,
j'ai besoin d'aide concernant les equation differentielle.

On souhaite resoudre l'equation differentielle 2y'+4y = 4x^2 que l'on note E
Cette equation differentielle est dite de second membre ( dans ce cas 4x^2)
L'objectif est de se donner une methode de resolution de ce type d'equation.

1) montrer que le polynome P(x)= x^2-x+ 1/2 est solution de l'equation differentielle de E
on dit que P est une solution particuliere de l'equation E.

2) on note E' l'equation sans second membre issue de l'equation E: 2y'+4y=0
resoudre cette equation

3) demontrer les 2 implications suivantes , f désignant une fonction :
a) si f est une solution de E , alors f-P est solution de E'
b) reciproquement si f-P est solution de E' , alors f est solution de E.

4) deduire des question precedente que l'equation E a pour solution l'ensemble des fonctions
fk : x fleche k.e^(-2x) + x^2 - x + 1/2 avec x appartenant au reel et k aussi

Posté par
perpignan
re 17-02-12 à 17:51

pour la 1)
2( x^2-x+1/2)' + 4 (x^2-x+1/2)
= 2(2x-1) + 4 (x^2-x+1/2)
= 4x - 2 + 4x^2 - 4x + 2
= 4x^2

2)
2y' = -4y
y' = -4/2 y
y'= -2y

S { fk(x) = k.e^(-2x) }

est ce juste ?

ensuite pour la 3 et 4 je n'y arrive pas !
si je pouvais avoir votre aide

Posté par
sanantonio312
re : exercice 17-02-12 à 18:00

Bonjour,
A la question 3, c'est plutôt de f+P qu'il s'agit. Non?
Que n'arrives-tu pas à montrer?

Posté par
Labo
re : exercice 17-02-12 à 18:23

Bonjour,
OK pour 1 et 2
3) démontrer les 2 implications suivantes , f désignant une fonction :
a) si f est une solution de E , alors f-P est solution de E'
si f solution de (E)
alors 2f'+4f=4x^2
or P est solution de (E)
2P'+4P=4x^2
d'où
2f'+4f-(2P'+4P)=0
 \\ 2(f'-P')+4(f-P)=0
par conséquent
f-P est solution de (E')
b) réciproquement si f-P est solution de E' , alors f est solution de E.
si f-P est solution de (E')
alors
2(f-P)'+4(f-P)=0
 \\ 2f'-2P'+4f-4P=0
 \\ 2f'+4f=2P'+4P=4x^2
d'où
2f'+4f=4x^2
par conséquent f est solution de (E)
4)f solution de (E)

\Longleftrightarrow (f-P)   solution de  (E')
\Longleftrightarrow \, f - P = f_{k} d'après 3)
\Longleftrightarrow \, f \  est   définie   par f(x) = f_{k}(x) + P(x) = ke^{-2x} +x^2-x+ 1/2

Posté par
perpignan
re 18-02-12 à 09:37

merci j'ai compris à present !!!



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