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exercice applications affines
bonjour à tous,
Je bute sur un petit exo.
Soit f une application linéaire de IR^n dans IR non identiquement nulle. Pourquoi
E= {x dans IR^n; f(x)=1} est-il un sous espace affine de IR^n? Quelle est sa dim?
On a dit que f non identiquement nulle => ....=> il y a x0 dans E
x dans E=>f(x)-f(x0)=0 ie x-x0 est dans kerf sous espace vectoriel de IR^n
Jusque là pas de problème. Par contre il me semble que l'on a montré uniquement
inclus dans kerf
et qu'il manque l'autre sens de l'inclusion.
Mon prof semble dire qu'il y a égalité puisque qu'il calcule ensuite la dim de la direction de E avec le th du rang:
dim kerf= n-1
Pourriez-vous m'éclairer?
Tout d'abord il faut remarquer qu'une forme linéaire no nulle est surjective cela t'assure l'existence d'un x0 tel que f(x0)=1
En soustrayant par f(xO) tu te ramènes a l'equation f(x-x0)=0, c'est à dire que cherches le noyau d'une forme linéaire (non nulle) donc le noyau est un espace de dim n-1 (theo du rang par ex).
Il est clair que si x est dans le noyau alors x0+x est solution de ton equation et que si x est solution de ton equation alors x-x0 est dans le noyau de f, donc on a bien égalité!
Donc ton espace E est l'espace affine x0+ker f, c'est un esp de dim n-1 de direction ker f
Est-ce plus clair?
"Tout d'abord il faut remarquer qu'une forme linéaire no nulle est surjective"
Comment ça se prouve?
Si ta forme linéaire est non nulle il existe x tel que <f,x>=a avec a différent de 0 et donc si tu donnes y quelconque de R on a <f,y/a x>=y et ceci prouve la surjectivité
Ok pas mal 
"Il est clair que si x est dans le noyau alors x0+x est solution de ton equation"
Je crois comprendre ça:
x dans kerf<=> f(x+x0)=f(x)+f(x0)=0+1 =1 donc x+x0 est dans la direction de E.
Il me semble qu'il faut montrer que x est dans E non?
C'est un truc du genre
x= x0 + => x est dans
?
Autre point noir. Si on parle de la direction de E, on parle d'un espace vectoriel. Donc il me semble qu'il faut faire attention si je veux montrer que
=kerf.
Je veux dire que je ne peux pas utiliser la notation avant d'avoir montré l'égalité et donc prouvé que
est bien un espace vectoriel non?
Ou autrement dit, est-ce que la manière dont on s'y prend pour trouver à quel ensemble appartient un vecteur x-x0 nous assure que l'on va tomber sur un espace vectoriel?
Ma question est compréhensible ? 
La direction d'un espace ffine est tjs un esp vectoriel (c'est la définition de la direction) et le noyau d'une application linéaire est toujours un esp vectoriel
On pourve que si x est dans le noyau alors x est dans dir(E) (ce que tu notes E avec un fleche au dessus) et reciporquement, mais x0+x lui est dans E (sans fleche)
Pour faire peut etre plus simple prouve que si E est l'espace des solutions alors E-xO est un espace vectoriel, c'est exactement la direction de E, et elle coincide avec le noyau de f.
Ca t'aide?
On pourve que si x est dans le noyau alors x est dans dir(E) (ce que tu notes E avec un fleche au dessus) et reciporquement, mais x0+x lui est dans E (sans fleche)
Oui j'ai un peu mélangé les choses...
J'essaie de rédiger une nouvelle fois.
x est dans E => x-x0 est dans kerf donc est inclus dans kerf
x est dans kerf=> x+x0 est dans E => x est dans E-x0= {|x est dans E}=
Donc = kerf
Je me rends compte que je fais encore un gros mélange.
Est-ce qu'un point dans un espace affine est en même temps un vecteur dans un espace vectoriel. Je m'explique:
Est-ce que j'ai le droit d'écrire par exemple dans certains cas de figure:
x est dans E un espace vectoriel
et x est aussi dans la direction de E
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