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exercice applications linéaires
Soient E un R-espace vectoriel et u un endomorphisme de E
Pour tout n 
N , on pose Fn = Im(un) et Gn = Ker(un) (où un = uouo...ou)(soit n fois ou) ; puis F=
Fn et G=
Gn
Etant donnés v L(E) et A une partie de E, on dit que A est stable par v lorsque v(A)
A, autrement dit :
A, v()A
On dit qu'un endomorphisme v de E est nilpotent lorsqu'il existe n N tel que vn=0
Première partie :
1- Montrer que, pour tout n N, Fn et Gn sont stables par u.
2- Montrer que, pour tout n N,Fn+1 Fn
3- Montrer que, pour tout n N,Gn Gn+1
4- F est-il un sous-espace vectoriel de E ?
5- G est-il un sous-espace vectoriel de E ?
6- Montrer que F et G sont stables par u
7- Montrer que u est injective si et seulement si G = {vecteur nul}
8- Montrer que u est surjective si et seulement si F=E
Voilà pour la première partie !
Pour la première question jai essayé de montrer que si vecteur yIm(un) alors il existe vecteur x qui appartient à E tel que vecteur y=un(vecteur x)
mais je bloque ! Et jai aussi fait Fn Ker(un) ssi f(Fn)=0 mais je n'y arrive pas non plus!
Pour la 2 et la 3 je bloque aussi
Pour la 4,5 et 6 idem !
Pour la 7 et la 8 ça me semble évident mais je sais pas comment le prouver !
Merci de votre aide.
Salut,
1- Montrer que, pour tout n N, Fn et Gn sont stables par u.
Il faut montrer que u(Fn) C Fn et u(Gn) C Gn.
Donc il faut commencer en prenant y dans u(Fn), c'est à dire il existe x tel que u°(u^p(x))=y et montrer que y appartient à Fn (c'est presque immédiat).
Idem pour u(Gn).
Je comprend la méthode mais je ne vois pas à quoi correspond ton p(x)?
Si je fais ta méthode on a :
si yu(Fn) alors il existe uo(un(x))=y
donc y a au moins un antécédent par u(Fn) donc y Fn
donc u(Fn) Fn
donc Fn est stable par u
Est-ce que c'est bien ça ?
Désolé, je voulais marquer n, pas p. (et u^p(x) signifie up(x))
donc y a au moins un antécédent par u(Fn) donc y C Fn
D'accord y a un antécédent par u(Fn), mais pourquoi cela impliquerait t-il que y C Fn, ce qui revient à dire qu'il existe z tel que un(z)=y?
Tout simplement tu peux dire que uo(un(x))= y
=> un+1(x)=y
=> un(u(x))=y
Et là, il est évident que y a un antécédent par un: u(x).
Oui c'est ça que je voulais dire mais je l'avais mal écrit.
Merci beaucoup de votre aide.
Est-ce que vous (ou quelqu'un d'autre) pouvez m'aidez pour la suite ?
oui (enfin je pense) :
si yu(Gn) il existe x tel uo(un(x))=Y
uo(Ker(un))=y
0=y
u(Gn)Gn
donc Gn est stable par u
voilà, j'espère que c'est bon.
Pourrais-tu m'aider pour la suite.
Merci
Bonsoir, jolymily.
Il faut revoir ton raisonnement pout montrer que G_n est stable par u.
Si y est dans , il existe x dans
tel que y=u(x).
Pour montrer que y est dans , il faut donc montrer que
Je te laisse continuer
donc si j'ai bien compris ça donne :
Si y est dans , il existe x dans tel que y=u(x)
donc y=uouo...ou(x)
or xGn donc y=uouo...ou(0) soit un(y)=0
est-ce bien ça ?
Si y est dans , il existe x dans tel que y=u(x)
donc y=uouo...ou(x)
Je suppose que tu as composé par u un certain nombre de fois pour passer de y = u(x) à y=uouo...ou(x), mais il faut aussi composer dans le membre de gauche!
Donc tu va avoir uouo...ou(y)=uouo...ou(x) (combien as-tu de uo.. d'ailleurs?) avec un u de plus à droite (car tu en avait un au départ), soit un(y) = un+1(x) (si tu choisis de composer n fois, ce qui semble être judicieux).
or x
Gn donc y=uouo...ou(0)Pourquoi dire que x
Gn donc uouo...ou(x) = uouo...ou(0), alors qu'il est plus simple de dire uouo...ou(x) = 0? (ce que tu as écrit est juste, à condition que x soit composé au moins n fois, mais un peu troublant...).finalement jai réussi jusqu'à la question 7
Si quelqu'un pouvait m'aider pour la question 7 et 8 ?
Merci beaucoup
2- Montrer que, pour tout n N,Fn+1 C Fn
Même démonstration que pour la stabilité de Fn.
3- Montrer que, pour tout n N,Gn Gn+1
Même principe, tu prends un éléments de Gn, tu vérifie que cet élément appartient à Gn+1
4- F est-il un sous-espace vectoriel de E ?
L'intersection de plusieurs SEV est un SEV.
5- G est-il un sous-espace vectoriel de E ?
L'union de plusieurs SEV n'est pas forcément un SEV, il faut trouver autre chose...
Tu sais que Gn C Gn+1, donc G0 G1 G2 ... Gn
Donc finalement la réunion de tous ces intervalles donne Gn, et on sait que Gn est un SEV.
6- Montrer que F et G sont stables par u
Même méthode que 1-2-3
7- Montrer que u est injective si et seulement si G = {vecteur nul}
Ce que tu sais d'après ton cours c'est que u injective <=> ker(u) = {0}
<=> G0 = {0}
Il faut prouver que ceci est équivalent à G = {0} (sert toi du fait que G est l'intersection de G0, ..., Gn, et que Gn C Gn+1).
8- Montrer que u est surjective si et seulement si F=E
Même principe que 7
7- Montrer que u est injective si et seulement si G = {vecteur nul}
Ce que tu sais d'après ton cours c'est que u injective <=> ker(u) = {0}
<=> G0 = {0}
Il faut prouver que ceci est équivalent à G = {0} (sert toi du fait que G est l'intersection de G0, ..., Gn, et que Gn C Gn+1).
Il faut prouver une équivalence, donc 2 implications:
D'abord que G = {0} => G0 = {0}:
c'est facile, car G0 C G = {0}.
Puis G0 = {0} => G = {0}:
Un peu plus difficile, tu peux faire une récurrence en posant Gn = {0} => Gn+1 = {0}, en effet:
On suppose Go = {0} et Gn = {0}.
Soit v
Gn+1, un+1(v) = 0 = un(u(v))
=> u(v)
Gn = {0}
=> u(v) = 0
=> v
ker(u) = Go = {0}
=> v = 0
On a prouvé que tout élément de Gn+1 est nul, donc Gn+1 = {0}.
donc G0 ={0},G1 ={0},...,Gn ={0}.
Donc G = {0}, c'est fini.
merci beaucoup, ça me rassure sur mes réponses des questions 2à 7! Et merci encore pour les explications des questions 7 et 8.
Bonjour à tous!
Je viens vous demander de l'aide pour la suite de l'exercice, car je suis totalement bloqué!
Voici la suite de l'énoncé:
1. On suppose qu'il existe s (naturel) tel que Gs=Gs+1, et on pose s(u)=min{ k (naturel); Gk=Gk+1}.
a) Montrer que, pour tout p (naturel), Gs=Gs+p.
b) Montrer que G=Gs(u).
c) Montrer que la restriction de u à G est nilpotente.
d) Montrer que la restriction de u à F est injective.
e) Montrer que Fs(u) G = {0}
2. On suppose qu'il existe r (naturel) tel que Fr = Fr+1, et on pose r(u) = min{k (naturel); Fk = Fk+1 }.
a) Montrer que, pour tout p (naturel), Fs =Fs+p.
b) Montrer que F=Fr(u).
c) Montrer que u induit une surjection de F sur F.
Montrer que Gr(u) + F = E.
Bon, c'est simple, je ne comprends absolument pas ce qui est demandé, donc si vous pouviez déjà me mettre sur la voie, ca serait génial!
Salut,
pipino = jolymily? 
a) Montrer que, pour tout p (naturel), Gs=Gs+p.
Tu dois montrer que à partir du rang s, la suite Gn est constante, donc qu'on a Gs=Gs+1=Gs+2=...=Gs+n
Pour cela le pratique est de raisonner par récurrence en posant Gn = Gn+1 => Gn+2=Gn+1=Gn.
Ainsi on aura prouvé que si Gs = Gs+1 alors c'est aussi égal à Gs+2, Gs+3, ..., tu suis le raisonnement?
On suppose donc Gn = Gn+1:
On doit montrer que Gn+2 = Gn+1 (ou =Gn), donc il faut 2 inclusions: d'abord montrer Gn C Gn+1 (tu la déjà démontrer dans la 1ere partie de l'exo), puis Gn+1 C Gn, tu prends un élément x de Gn+1, tu sais que cet élément vérifie un+1(x) = 0 = un(u(x)), donc u(x) € ..., donc u(x) vérifie..., donc x € Gn. (je te laisse compléter les pointillés ).
Tu dois montrer que à partir du rang s, la suite Gn est constante, donc qu'on a Gs=Gs+1=Gs+2=...=Gs+n
Tu dois montrer que à partir du rang s, la suite Gn est constante, donc qu'on a Gs=Gs+1=Gs+2=...=Gs+p plutôt.
Jolimily= jolimily
Pipino= pipino.
On doit montrer que Gn+2 = Gn+1 (ou =Gn), donc il faut 2 inclusions: d'abord montrer Gn C Gn+1 (tu la déjà démontrer dans la 1ere partie de l'exo), puis Gn+1 C Gn, tu prends un élément x de Gn+1, tu sais que cet élément vérifie un+1(x) = 0 = un(u(x)), donc u(x) € Ker(un), donc u(x) vérifie Gn = Ker (un), donc x € Gn.
Je pense que c'est cela qu'il faut mettre dans les pointillés, en tout cas cela me paraît logique.
Pour la question 2b, je pense à quelque chose, mais je ne suis pas sûr du tout:
Pour montrer que G=Gs(u) il faut dire que Gs(u) est constante, et comme Gn Gn+1, puisque G est la réunion de tous les Gn, alors forcément G=Gs(u).
C'est un peu tordu comme raisonnement quand même...
Oula, mince je me suis un peu embrouillé...
Pour cela le pratique est de raisonner par récurrence en posant Gn = Gn+1 => Gn+2=Gn+1=Gn.
Ainsi on aura prouvé que si Gs = Gs+1 alors c'est aussi égal à Gs+2, Gs+3, ..., tu suis le raisonnement?
On suppose donc Gn = Gn+1:
On doit montrer que Gn+2 = Gn+1 (ou =Gn), donc il faut 2 inclusions: d'abord montrer Gn C Gn+1 (tu la déjà démontrer dans la 1ere partie de l'exo), puis Gn+1 C Gn, tu prends un élément x de Gn+1, tu sais que cet élément vérifie un+1(x) = 0 = un(u(x)), donc u(x) € ..., donc u(x) vérifie..., donc x € Gn. (je te laisse compléter les pointillés ).
On veut montrer que Gn+2=Gn+1, donc il faut montrer Gn+1 C Gn+2, et Gn+2 C Gn+1 (ou Gn C Gn+2 et Gn+2 C Gn, mais pas ce que j'ai dit...).
Soit x € Gn+2.
un+2(x) = un+1(u(x)) = 0 => u(x) € Gn+1 => u(x) € Gn
=> un(u(x)) = un+1(x) =0
=> x € Gn+1
Par double inclusion on a Gn+2=Gn+1.
On a donc démontrer que si Gs=Gs+1, alors Gs+1=Gs+2=...=Gs+p
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