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Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente

Posté par
alggie 17-02-19 à 11:50

Bonjour, ceci est un exercice que j'aimerais comprendre :

Soit k un nombre réel fixé. On considère la fonction f_k définie sur [0;+∞[ par f_k(0)=0 et f_k(x)=x(k-\ln x) pour x positif.
On note C_k la courbe représentative de la fonction.

1. On appelle S_k le point d'ordonnée maximum de la courbe C_k. Montrer que, pour tout réel k, le point est situé sur une droite D indépendante de k, que l'on précisera.

Est-ce-que cela a à voir avec la dérivée de f ?

2. Soit T_k la tangente à la courbe C_k au point d'abscisse 3. Montrer que toutes les droites T_k coupent l'axe des ordonnées en un point A indépendant de la valeur de k. Déterminer pour quelle valeur de k la tangente à la courbe C_k au point S_k passe par A.

Est-ce-que c'est lié au nombre dérivé de f en k ?

Je vous avoue que je suis un peu perdue, en plus je vais probablement avoir un contrôle en lien avec ça alors je stresse un peu...

Merci de votre aide, j'aimerais vraiment comprendre comment répondre à ces questions

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 17-02-19 à 11:52

Citation :
Est-ce-que cela a à voir avec la dérivée de f ?

Ben oui, comment trouve t-on les coordonnées du maximum ?

Posté par
sanantonio312re : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 17-02-19 à 11:53

Bonjour,

Citation :
Est-ce-que cela a à voir avec la dérivée de f ?

Oui. Enfin, avec la dérivée de fk
Citation :
Est-ce-que c'est lié au nombre dérivé de f en k ?

Qu'entends-tu par "nombre dérivé en k"?

Posté par
malou Webmasterre : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 17-02-19 à 11:53

bonjour
oui, pour trouver un max, tu calcules en général la dérivée, et tu vois si elle s'annule, et tu regardes les signes de la dérivée de part et d'autre pour voir si c'est un maximum ou un minimum, ou rien du tout....

Posté par
carpediemre : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 17-02-19 à 12:08

salut

Citation :
Je vous avoue que je suis un peu perdue, en plus je vais probablement avoir un contrôle en lien avec ça alors je stresse un peu...
ben peut-être serait-il judicieux d'ouvrir son cahier de cours et d'exercice de première afin de savoir à quoi sert la dérivée ...

alggie @ 17-02-2019 à 11:50

2. Soit T_k la tangente à la courbe C_k au point d'abscisse 3. Montrer que toutes les droites T_k coupent l'axe des ordonnées en un point A indépendant de la valeur de k. Déterminer pour quelle valeur de k la tangente à la courbe C_k au point S_k passe par A.

Est-ce-que c'est lié au nombre dérivé de f en k ?
te parle-t-on de la tangente au point d'abscisse k ?

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 14:25

Bonjour,

J'ai calculé la dérivée de la fonction et ai trouvé que le maximum S_k est valable pour x=e^{k-1}.

J'ai donc l'équation de la droite D telle que : y=f(e^{k-1})=e^{k-1}(k-\ln {e^{k-1}})=e^{k-1}(k-k+1)=e^{k-1}. Mais dans ce cas, la droite n'est pas indépendante de k, si ?

Merci à vous

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 14:32

tu as trouvé que les coordonnées du maximum étaient x=e^{k-1} et y =e^{k-1} \\
Ne peux tu pas trouver facilement l'équation d'une droite sur laquelle le point est situé quelque soit k ?
(on ne t'a pas demandé de montrer que le sommet était indépendant de k mais de montrer qu'il se déplace sur une droite)

Posté par
sanantonio312re : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 14:34

Ben si.
Exprime y en fonction de x. (x et y étant en l'occurrence les coordonnées du maximum)

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 14:41

Glapion @ 18-02-2019 à 14:32

tu as trouvé que  les coordonnées du maximum étaient  x=e^{k-1}   et      y =e^{k-1} \\
Ne peux tu pas trouver facilement l'équation d'une droite sur laquelle le point est situé quelque soit k ?
(on ne t'a pas demandé de montrer que le sommet était indépendant de k mais de montrer qu'il se déplace  sur une droite)
C'est y=e^{k-1} non ? Mais k est toujours là... Ou alors faut-il que j'utilise la formule du coefficient directeur a=\frac {y_B-y_A}{x_B-x_A} ?

Merci

Posté par
sanantonio312re : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 14:41

Exprime y en fonction de x

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 14:44

sanantonio312 @ 18-02-2019 à 14:41

Exprime y en fonction de x
Mais y=f(x) ? J'ai l'impression de ne pas voir un truc tout simple là...

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 14:45

oui un truc tout simple simplement que y = x

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 14:49

Glapion @ 18-02-2019 à 14:45

oui un truc tout simple simplement que y = x
AH. Merci. C'est tout bête mais je n'avais pas fait le rapprochement

Donc, si je résume : les maximums de la fonction se trouvent toujours sur la droite y=x, soit sur une droite indépendante de k puisque dépendante.... de x.

Merci merci merci

Posté par
sanantonio312re : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 14:51

Citation :
les maximums de la fonction se trouvent toujours sur la droite y=x, soit sur une droite indépendante de k puisque dépendante.... de x.

Posté par
sanantonio312re : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 14:53

Une droite qui aurait pour équation y=kx+1/k serait dépendante de x.
Et pour autant, elle serait également dépendante de k.

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 15:40

sanantonio312 @ 18-02-2019 à 14:53

Une droite qui aurait pour équation y=kx+1/k serait dépendante de x.
Et pour autant, elle serait également dépendante de k.
D'accord merci ☻

Je suis passée à la question 2. J'ai calculé le nombre dérivé en 3 et j'ai obtenu k-\ln 3. La tangente a alors pour équation y=x(k-\ln 3).

J'en ai déduis que la tangente de la courbe à un point d'abscisse a (avec a un réel) a pour équation y=x(k-\ln a). Pour montrer que cette tangente courbe l'axe des ordonnées, je dois juste trouver y=0, en déduire les coordonnées du point A et montrer qu'il est indépendant de k ? (je cours calculer ça )

Merci!!

Posté par
sanantonio312re : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 16:42

Quelle dérivée as-tu trouvé?
Pourquoi parler d'un point d'abscisse a puisqu'on doit travailler avec le point d'abscisse 3?

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 16:51

heu non, tu avais f'k(x)= k- ln x -1 donc le coefficient directeur de ta droite c'est k - ln 3 -1 et pas ce que tu as mis

y = (k - ln 3 -1)x + 3

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 17:04

Glapion @ 18-02-2019 à 16:51

heu non, tu avais f'k(x)= k- ln x -1 donc le coefficient directeur de ta droite c'est k - ln 3 -1 et pas ce que tu as mis

y = (k - ln 3 -1)x + 3
Donc je n'ai pas besoin d'utiliser la formule pour la tangente y=f'(a)(x-a)+f(a) ?

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 17:05

alggie @ 18-02-2019 à 17:04

Glapion @ 18-02-2019 à 16:51

heu non, tu avais f'k(x)= k- ln x -1 donc le coefficient directeur de ta droite c'est k - ln 3 -1 et pas ce que tu as mis

y = (k - ln 3 -1)x + 3
Donc je n'ai pas besoin d'utiliser la formule pour la tangente y=f'(a)(x-a)+f(a) ?
Ah oui pardon. J'ai échanger deux parties.

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 17:06

alggie @ 18-02-2019 à 17:05

Ah oui pardon. J'ai échanger deux parties.


J'ai échangé

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 17:07

Citation :
Donc je n'ai pas besoin d'utiliser la formule pour la tangente y=f'(a)(x-a)+f(a) ?


et comment tu crois qu'on trouve y = (k - ln 3 -1)x + 3 ?

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 17:09

Du coup, est-ce-que l'équation de la tangente est y=k-\ln 3 -1 ou y=f'(a)(x-a)+f(a)=(k-\ln 3-1)(x-3)+3 ?

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 17:10

Glapion @ 18-02-2019 à 17:07

Citation :
Donc je n'ai pas besoin d'utiliser la formule pour la tangente y=f'(a)(x-a)+f(a) ?


et comment tu crois qu'on trouve y = (k - ln 3 -1)x + 3 ?
C'est ça que j'avais échangé...

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 17:12

calcule correctement, f(3) ne vaut pas 3, f(3) = 3(k- ln 3)

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 17:21

Glapion @ 18-02-2019 à 17:12

calcule correctement, f(3) ne vaut pas 3, f(3) = 3(k- ln 3)
Oui j'ai vu. C'est que, après simplification, on a bien : y=x(k-\ln 3-1)+3. Est-ce-que je dois généraliser la formule, c'est-à-dire que pour tout a un point d'abscisse, l'équation de la tangente est telle que : y=x(k-\ln a-1)+a ?

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 17:38

Ensuite, j'ai calculé x(k-\ln 3-1)+3=0 et j'ai trouvé x=-\frac {3}{k-\ln3 -1}=-\frac {3}{f'_k(3)}. Donc Tk coupe l'axe des ordonnées en un point A de coordonnés : (-\frac {3}{k-\ln 3 -1};0). Mais k apparaît encore dans cette équation ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 17:45

on coupe l'axe des ordonnées pas l'axe des abscisses. C'est x = 0 que tu dois faire dans l'équation de la tangente.

on ne t'a pas demandé de généraliser la formule, on ne te parle que des tangentes en x=3.

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 18:07

Glapion @ 18-02-2019 à 17:45

on coupe l'axe des ordonnées pas l'axe des abscisses. C'est x = 0 que tu dois faire dans l'équation de la tangente.

on ne t'a pas demandé de généraliser la formule, on ne te parle que des tangentes en x=3.
Ah oui merci !

Du coup j'ai A(3;0) avec x=0 donc indépendant de k.

Merci

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 18:25

Après calculs, j'ai trouvé que la tangente à la courbe Ck au point Sk passe par A pour x=\ln 3+1. Est-ce juste ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 18-02-19 à 19:28

oui c'est juste.

Posté par
alggiere : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 19-02-19 à 09:06

alggie @ 18-02-2019 à 18:25

Après calculs, j'ai trouvé que la tangente à la courbe Ck au point Sk passe par A pour x=\ln 3+1. Est-ce juste ?
Donc la tangente à la courbe C_k au point S_k passe par A pour k=\ln 3 +1. Je crois que j'ai terminé mon exercice...

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice avec fonction logarithme et courbe tangente 19-02-19 à 11:15


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