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exercice bac ( arithmetiques)
bonjour , j'ai du mal a faire cet exercice tiré du bac 2005, j espere que quelqu 'un pourrait m aider, voici l enoncer :
Partie A
Soit N un entier naturel, impair non premier.
On suppose que N = a² −b² où a et b sont deux entiers naturels.
1. Montrer que a et b n'ont pas la même parité.
2. Montrer que N peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels p et q.
3. Quelle est la parité de p et de q ?
Partie B
On admet que 250 507 n'est pas premier.
On se propose de chercher des couples d'entiers naturels (a ; b) vérifiant la relation
(E) : a² −250507 = b².
1. Soit X un entier naturel.
a. Donner dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9 ; puis ceux
de X2 modulo 9.
b. Montrer que les restes possibles modulo 9 de a sont 1 et 8.
2. Justifier que si le couple (a ; b) vérifie la relation (E), alors a 
501. Montrer
qu'il n'existe pas de solution du type (501 ; b).
3. On suppose que le couple (a ; b) vérifie la relation (E).
a. Démontrer que a est congru à 503 ou à 505 modulo 9.
b. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que le couple (505+9k ; b)
soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.
Partie C
1. Déduire des parties précédentes une écriture de 250 507 en un produit deux
facteurs.
2. Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux?
merci d avance
bonsoir,
1) N=a^2-b^2=(a-b)(a+b) si a et b étaient de même parité alors a+b et a-b seraient pair d'où N pair ce qui est impossible.
donc a et b de parité différente.
2) N non premier donc il admet un diviseur p ...
3) N est impair or un produit de deux nombres est impair ssi les deux nombres sont impairs donc ...
après essaie de faire la partie B ... et dis où ça blocque
En dressant un tableau des congruences on trouve les valeurs que vous venez d'afficher
Elles vous serviront pour la suite du problème
A plus
Les restes possibles de a2 modulo 9 sont:1,2,5,8
d'après le tableau des congruences les restes possibles de a2
sont 0,1,4 et 7
compte tenu de ces 2 éléments on en déduit que le seul reste possible de
a2 modulo 9 est 1
toujours d'après le tableau on trouve que les restes possibles de a modulo 9 sont 1 et 8
A plus
comment trouve tu que les restes possibles de a² modulo 9 sont:1,2,5,8
et egalement comment deduit tu que les reste possiblesest 8 ( pour 1 j ai compris)
2) je ne sais pas comment procédé mais j'ai trouvé que 
(250507)=500,506 donc 501 donc on aurait a=b+500,506 501 car b 
bon pour la 2 je ne suis pas sur de la justification
3)503
8[9]
5051[9]
mais je ne sais par comment demontrer ce que l on veut
Le reste de a2-250507 modulo 9 est celui de b2 (9)
donc ce reste est 0,1,4,7
on sait que a2=b2+250507 et 2505071 (9)
donc a2(9) a pour restes 1,2,5,8
2)a2=b2+250507 donc a2250507
je vous laisse poursuivre le raisonnement
A plus
comme
5038[9]
5051[9]
et
a1 (9) ou a8 (9)
donc a est congru à 503 ou à 505 modulo 9.
b) je pense que k=1 ou 0 ?
a=505 et b=503 (enfin non )je ne sais pas
b) si a=505+9k avec k € N a2=255025+9090k+81k2
on a 4518+9090k+81k2=b2
on cherche alors une solution avec k le plus petit possible
je vous laisse poursuivre en donnant à les valeurs 0 et 1
et conclure
A plus
si k=1
a=514
b=117
SI =0
a=505
b=67;21...
donc on prend k=1 avec a=514 et b=117
a²-b²=250507 donc cela marche 
passons a la derniere partie
pour démontrer qu'ils sont 1ers entre eux on peut utiliser 2 méthodes:
a) employer l'algorithme d'Euclide pour déterminer le PGCD
b)ou =25,..
631 n'est divisible ni par 2,ni par 3,ni par 5,....ni par 23
faire la même chose avec 397
A plus
Merci beaucoup , j'ai pu comprendre la méthode grace à vous . =)
Cependant il y a une dernière question au Dm que je ne reussis pas .
Après avoir démontrer que ces deux nombres sont prmiers, avec l'algorithme d'Euclide, ils nous demande,à la question suivante si cette ecriture est unique. Je bloque .><
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