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exercice base 2

Posté par
zorb 01-06-14 à 20:05

Bonsoir, j ai une question concernant la base 2
soit a=(d0,d1...dn...)2 avec pour tout n,dn{0,1}, à quelle condition (CNS) sur d0 et d1 a-t-on a<1/2,
j'ai  pensé que cette condition était d0=d1=0
Est-ce bien ça ?merci d'avance

Posté par Profil amethystere : exercice base 2 01-06-14 à 20:29

Bonjour Zorb

sachant que dans ce cas tu as

a_n.b^n+a_{n-1}.b^{n-1}+...+a_0.b^{0}+a_{-1}.b^{-1}+a_{-2}.b^{-2}+...<1/2

avec n\in  \mathbb {N} et a_i \in \mathbb {N}_{b-1} et b \in \mathbb {N}-\begin {Bmatrix}0,1\end {Bmatrix}

et ici b=2 tu recherche les conditions sur a_n=a_0 pour vérifier cette inégalitée

si tu pose  a_n=a_0=1 tu obtiens a_0.b^{0}=a_0=1

de sorte que tu n'a pas d'autre choix que poser ...

Posté par
ThierryPomare : exercice base 2 01-06-14 à 20:43

Bonsoir,

Posons

a=d_0+\sum_{n\geqslant 1}d_n\,2^{-n}

avec (d_n)_{n\geqslant 0}\subset\{0,\,1\}. Supposons (d_0,\,d_1)\ne(0,\,0). Alors, de

\sum_{n\geqslant 2}d_n\,2^{-n}\geqslant 0

l'on trouve que

a\geqslant d_0+d_1\,2^{-1}\geqslant 2^{-1}

La première implication résulte par contraposition de ce qui précède.

L'autre est triviale.

Thierry

Posté par
zorbre : exercice base 2 01-06-14 à 22:04

Merci mais je n'ai  pas compris pourquoi on recherche les conditions sur an=a0

Posté par Profil amethystere : exercice base 2 01-06-14 à 22:13

j'ai écris a_0 en fait c'est d_0 selon ta notation

ce que j'ai dit

tu n'as pas le choix

soit d0=1 soit d0=0

si n=1 et d0=1 alors a=1^0.2^0+d_{-1}.2^{-1}+...\geq 1

par contre pour n>1 alors d_n=1 c'est obligatoire et de fait
a=1^n.2^n+d_{n-1}.2^{n-1}+...+d_0.2^0+d_{-1}.2^{-1}+...\geq 2^n

Posté par Profil amethystere : exercice base 2 01-06-14 à 22:20

correction :si n=0 et d0=1 alors...

Posté par
ThierryPomare : exercice base 2 01-06-14 à 22:24

Tu pourras voir aussi le post du 01-06-14 à 20:43, s'il t'aurait échappé !!

Bonne nuit !

Posté par
delta-Bre : exercice base 2 01-06-14 à 23:54

Bonsoir.

Dans l'écriture de a, a=(d0,d1...dn...)2, il n'est dit pas dit que le nombre de chiffres est fini, voir les 3 points de suspension après dn. La condition d0=d1=0 ne suffit pas. Si d0=d1=0 et dn=1 pour n2,  on aura \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{d_n}{2^n}=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{4}\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}, il faut donc ajouter \exists n\ge 2 tel que d_n=0

Posté par
zorbre : exercice base 2 02-06-14 à 10:25

Merci tout le monde, Thierrypoma,j'ai tout compris, merci, améthyste j'ai pas tout compris, car tu parles pas de d1 et tu parles de dn à gauche de d0 alors qu il y en a pas et c'est pas grave pour l autre topic, et delta-b j ai compris mais tu m as mis la confusion parce-que on ne me pose pas la question sur les autres dn pour n2, donc l exercice considère qu il y a pas de problème pour ces autres dn

Posté par
zorbre : exercice base 2 02-06-14 à 10:51

Améthyste , si tu relis mon énoncé, les dn sont à droite derrière la virgule, c est pour ça que je ne comprends pas tes explications

Posté par
lafol Moderateurre : exercice base 2 02-06-14 à 10:52

Bonjour
tu as recopié l'exercice in extenso au mot près ? s'il est tel que tu l'as écrit, il est faux... la condition ne peut pas porter uniquement sur les deux premiers chiffres, lorsque l'écriture peut être illimitée.

Posté par
zorbre : exercice base 2 02-06-14 à 11:29

Oui je suis sur de ce que j ai écrit, j ai vérifié au moins 20 fois l enonce, les dn continuent derrière la virgule à droite de façon illimité et a gauche de la virgule, il ya d0   et rien d autres, je ne comprends pas autant de questions de votre part, pour moi l explication de Thierrypoma   suffit et est parfaitement logique, pourquoi tous ces doutes, si d0=d1=0 c est logique que a<1/2.éclairez moi sur vos doutes s'il vous plaît

Posté par
lafol Moderateurre : exercice base 2 02-06-14 à 11:39

Delta-B t'a parfaitement expliqué que 0,01111111..... (une infinité de chiffres 1) en base deux, c'est exactement égal à 1/2

Posté par
lafol Moderateurre : exercice base 2 02-06-14 à 11:41

donc d_0 = d_1 = 0 ne suffit pas à garantir que (d_0,d_1d_2d_3...)_2 sera strictement inférieur à 1/2

Posté par
zorbre : exercice base 2 02-06-14 à 12:47

Ok merci, c est vrai,il a raison, la question est erronée alors,merci beaucoup

Posté par
zorbre : exercice base 2 02-06-14 à 12:57

Donc pour résumer, la condition que d0=d1=0 est nécessaire d après Thierrypoma et non suffisante d après delta b,c est bien ça ?

Posté par
lafol Moderateurre : exercice base 2 02-06-14 à 13:23

c'est bien ça
elle devient une CNS si on ne considère que des écritures avec un nombre fini de chiffres non nuls

Posté par
delta-Bre : exercice base 2 02-06-14 à 19:35

Bonjour.

Citation :
c'est bien ça
elle devient une CNS si on ne considère que des écritures avec un nombre fini de chiffres non nuls

C'est plutôt .... avec un nombre fini de chiffres. Il n'y pas lieu d'ajouter 'non nuls'

Posté par
lafol Moderateurre : exercice base 2 03-06-14 à 00:15

en effet


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