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Exercice congruence et division euclidienne
Bonjour,
J'aide un ami avec son DM de maths mais cela fait bien longtemps que je n'ai plus fait ni congruence ni division euclidienne. J'ai repris mes cours mais je voudrais savoir si vous pouviez me confirmer ce que j'ai fais avant que je ne lui explique n'importe quoi !
L'exercice traite d'une numéro d'INSEE composé de 15 chiffres, les 13 premiers chiffres correspondent à A et les deux derniers (la clé de vérification est appelée K). Pour calculer K, on fait K = 97 - r ou r est le reste de la division de A par 97.
Dans la première question, on demande le reste de la division euclidienne de 10^3 par 97. J'ai fais ça avec des congruences et j'obtiens
(= pour congruence)
10^2 = 3[1]
donc 10^3 = 30[97]
En déduire ceux de 10^6, 10^9 et 10^12
10^6 =( 10^3)^2
donc 10^6 = 30^2 = 27 [97]
10^9 = (10^3)^3
donc 10^9 = 30^3 = 34[97]
10^12 = (10^6)^2
donc 10^12 = 27^2 = 50 [97]
La suite consiste en une application pratique
on pose A = 2 84 06 94 183 048
on demande de mettre A sous la forme A = a + b * 10^3 + c * 10^6 + d * 10^9 + e * 10^12
J'ai donc posé
A = 48 + 183 * 10^3 + 694 * 10^6 + 840 * 10^9 + 2 * 10^12
Il faut ensuite calculer les reste de a, b, c, d, e
J'ai donc
48 = 48[97]
183 = 86[97]
694 = 15[97]
840 = 64[97]
2 = 2[97]
J'en ai déduit la clé K en faisant le reste de A
ça donne A = 71[97]
car A = 48 + 86 * 30 + 15 * 27 + 64 * 34 + 2 * 50 = 5309 = 71[97]
K = 97 - 71
La partie 2 se complique !
On considère qu'on donne un numéro A' erroné suivi de K et on note K' la vrai clé de A'. On demande de justifier que si K'-K est divisible par 97 alors A'-A l'est aussi. Je ne suis pas sure de ce que j'ai avancé pour cette démonstration.
j'ai dit :
Si K'-K est divisible par 97 alors K'-K = 0[97]
donc 97 - rA' - 97 + rA = 0[97]
rA - rA' = 0[97]
avec A = rA[97] et A' = rA'[97]
ce qui équivaut si on multiplie par -1 a
rA' - rA = 0[97]
Donc A' - A = rA' - rA = 0[97]
Question suivante :
Le A' vaut 2 84 06 97 183 048, il faut justifier que K' est différent de K
donc A' - A = 3 000 000
3 000 000 = 81[97]
K' = 87 - 81 = 16
Et on a bien K différent de K'.
En espérant que vous aurez le courage de tout lire et de m'apporter des corrections sur ce début d'exercice si nécessaire !
dernière partie :
On nous donne un chiffre A avec un nombre x qui s'est effacé
A = 1 84 02 64 x72 987 et K = 76
Mettre A sous forme A = B * 10^6 + x * 10^5 + C avec C < 10^6
Donc A = 1 840 264 * 10^6 + x * 10^5 + 72 987
Justifier que A = 90x + 70[97]
Je n'obtiens pas ça dans ma démo je ne sais pas pourquoi...
10^6 = 27 [97]
1 840 264 = 77[97]
x = x[97]
10^5 = 10^3 * 10^2 = 30 * 3 = 90[97]
72 987 = 43[97]
A = 77 * 27 + x * 90 + 43 = 2122 + 90x
A = 85 + 90x [97]
Où est mon erreur?
D'après la clé quel doit être le reste de A ?
K = 76 = 97 - rA
Donc rA = 21
En déduire le chiffre x manquant qui est solution de 90x = 48[97]
Alors là strictement aucune idée
A la fin ils demandent de déterminer le chiffre x à l'aide d'un tableau de congruence, mais comme j'étais coincé avant je n'ai pas fait cette question.
En espérant avoir des réponses ce soir
Cordialement
salut
vu qu'on te donne le résultat .... probablement une erreur de calcul .... donc on prend un brouillon et on recommence ....
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