Niveau terminale

Exercice congruence spé math

Posté par
iTemper 14-11-13 à 19:19

Bonsoir à tous , j'ai pas mal de difficulté en spé maths, surtout sur cet exercice :

On à (F) : 11x² - 7y² = 5

Et dès la première question je bloque :

Q.1 ) Démontrer que si le couple (x;y) est solution de F, alors x² est congrue à 2y²(5)

Q.2) Déterminer les reste de la division euclidienne de x² par 5
Déterminer les reste de la division euclidienne de 2y² par 5

Q.3) En déduire que si le couple (x;y) est solution de (F), alors x et y sont des multiple de 5

Q.4) Démontrer que si x et y sont multiple de 5, alors le couple (x;y) n'est pas solution de (F). Que peut on en déduire de l'équation (F) ?

J'aurais vraiment besoin d'aide, merci à tous !

Posté par re : Exercice congruence spé math 14-11-13 à 19:37

Bonsoir,

1) $11\equiv 1\;\;[5]$ et $7\equiv 2\;\;[5]$ , alors ...

Posté par re : Exercice congruence spé math 14-11-13 à 19:51

1 congrue à 2 modulo 5 ?

Posté par re : Exercice congruence spé math 14-11-13 à 21:52

Quelqu'un peu m'aidé, je ne comprend pas

Posté par re : Exercice congruence spé math 15-11-13 à 09:55

Citation :
1 congrue à 2 modulo 5 ?

Ecrire ce genre de choses prouve qu' on n' a rien compris aux congruences.

Je fais ton exercice mais le recopier ne te servira à rien; tu dois d' abord revoir ton cours.

1) $(F):\,11x^2-7y^2=5$

si le couple $(x;y)$ est solution de $(F)$ , alors:

$11x^2-7y^2\equiv 0\;\;[5]$

Or $11\equiv 1\;\;[5]$ et $7\equiv 2\;\;[5]$ donc:

$x^2-2y^2\equiv 0\;\;[5]$

2) Si $x\equiv 0\;\;[5]$ , alors $x^2\equiv 0\;\;[5]$

Si $x\equiv 1\;\;[5]$ , alors $x^2\equiv 1\;\;[5]$

Si $x\equiv 2\;\;[5]$ , alors $x^2\equiv 4\;\;[5]$

Si $x\equiv 3\;\;[5]$ , alors $x^2\equiv 9\equiv 4\;\;[5]$

Si $x\equiv 4\;\;[5]$ , alors $x^2\equiv 16\equiv 1\;\;[5]$

Si $y\equiv 0\;\;[5]$ , alors $2y^2\equiv 0\;\;[5]$

Si $y\equiv 1\;\;[5]$ , alors $2y^2\equiv 2\;\;[5]$

Si $y\equiv 2\;\;[5]$ , alors $2y^2\equiv 8\equiv 3\;\;[5]$

Si $y\equiv 3\;\;[5]$ , alors $2y^2\equiv 18\equiv 3\;\;[5]$

Si $y\equiv 4\;\;[5]$ , alors $2y^2\equiv 32\equiv 2\;\;[5]$

3) On en déduit que $x^2-2y^2 \equiv 0\;\;[5]$ si et seulement si $x\equiv 0\;\;[5]$ et $y\equiv 0\;\;[5]$

Si le couple $(x;y)$ est solution de $(F)$ , alors $x$ et $y$ sont multiples de 5.

4) Il existe donc $k$ et $k'$ entiers tels que $x=5k$ et $y=5k'$

En reportant dans $(F)$ , on obtient:

$11\times 25k-7\times 25k'=5$

soit encore: $5(11k-7k')=1$

donc 5 divise 1 ce qui est absurde.

Et si $x$ et $y$ sont multiples de 5, alors le couple $(x;y)$ n' est pas solution de $(F)$

Conclusion: l' équation $(F)$ n' a pas de solutions.

Posté par re : Exercice congruence spé math 15-11-13 à 18:38

Oui je comprend pas très bien les congruence, mais merci de m'avoir aidé

Posté par re : Exercice congruence spé math 15-11-13 à 19:53

salut

on peut arriver aussi à la meme conclusion par une methode que j'ai concocté

on part  11x² -7y² = 5   on peut donc ecrire que  11x² 5[7]  , je sais que  22 1[7] donc

22x²x²[7] (1)

je multiplie 11x² = 5[7] par 2 membre à membre et j'obtiens 22x² 10[7]  ou encor

22x²3[7] (2)

je soustrait membre à membre (1) et (2)  et j'obtiens  x² 3[7]   qui s'ecrit  x² = 7k +3

k = (x²-3) / 7   et on ne peut pas trouver de k entier tel que 7 divise x²-3   donc F n'a pas de solution

Posté par re : Exercice congruence spé math 15-11-13 à 20:05

salut

11x² - 7y² = 5 <==> 4x² + 7(x² - y²) = 5 ==> (2x)² = 5 [7]

or 5 n'est pas un carré [mod 7]

...

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