Bonsoir maxou_n,

d'accord pour phi(x), mais phi(1) donne clairement 0 et phi(x²)=2x plutôt


Tigweg

Bonjour

et phi(x) = 1 . Il est clair que  Phi(P)  est un polynôme de degré < degré(P)

Bonjour
Pour Tigweg,jeanseb et lolo217.
J'ai juste fait un changement de variable dans le polynôme: x²+x-1,
ce qui donne:
P(X+1)=(X+1)²+(X+1)-1 = X²+2X+X+1 = X²+3X+1
P(X-1)=(X-1)²+(X-1)-1 = X²-2X+X-1 = X²-X-1

Ensuite j'ai calculé la différence: P(X+1)-P(X-1)= 4X+2. Et comme Q(x)=(P(X+1)-P(X-1))/2            Q(x)=2X+1          or Q=phi(p).
Il est clair que le deg(Phi(p))<deg P(x)=x²+x-1.
Et lorsqu'on me demande l'image de x²+x-1 par phi. c'est à dire d'après moi:

phi(1)= 2.(1)+1=3
phi(x)=2.(x)+1=2x+1              
phi(x²)=2.(x²)+1=2x²+1              

J'ai donc Image phi=Vect((3,2x+1,2x²+1)).
Si l'image de phi est fausse d'après vous, faites moi la démonstration car je ne vois pas du tout ou son mes erreurs.

Je vous remercie par avance.

                                 Maxou_n

P.S: je suis un peu enteté mais j'ai envie de bien comprendre mes erreurs.

quand tu fais phi(1) tu fais phi(P) et P c'est le polynome constant egal à 1

P(X)= 1
donc P(X+1) = 1
     P(X-1) = 1

et P(X+1) - P(X-1) = 1 - 1 = 0 !!!

phi(1) = 0 ! Pareil pour phi(x) et phi(x²) c'est faux !
Et comme lolo te l'a dit tu peux pas trouver phi(P) = Q  avec deg P = deq Q c'est forcément que tu t'es trompé car en faisant P(X+1) - P(X-1) il y a forcément le terme de plus haut degré qui vire !

c'est encore moi

J'aimerai qu'on me détail les résultats pour comprendre
merci d'avance

1(X+1) - 1(X-1)= 1-1 = 0

x(X+1) - x(X-1)= X+1 - X+1 = 2

x²(X+1) - x²(X-1)= (X+1)² - (X-1)² =  X²+2X+1 - (X²-2X+1)= 4X

reste à diviser par 2.

q(x)= (p*(x+1)-p*(x+1))/2

p(x)=x²+x-1 est de la forme P=ao+a1x+a2x²  
avec ao=-1
a1=1x
et a2=1x²

si je comprends bien l'image de x²+x-1:
c'est 2*phi(-1)  =-1*(x+1)-(-1)*(x-1)=-x-1-(-x+1)=-2 donc phi(-1)=-1
      2*phi(x)  =x*(x+1)-(x)*(x-1)=x²+x-(x²-x)=2x    donc phi(x)=x
      2*phi(x²)  =x²*(x+1)-(x²)*(x-1)=x^3+x²-(x^3-x²)=2x²    donc phi(x)=x²

                Donc Im phi= vect((-1;x;x²))

Peux tu confirmer pour moi lolo217, merci

Bonjour

Désolé, je me suis en effet trompé, phi(x) est bien le polynôme constant 1!

phi(x) ou phi(-1)

phi(x)!

message pour tigweg

Dis moi,est-ce que tu trouves comme moi!
phi(-1)=-1
phi(x)=x
et phi(x²)=x²
lorsqu'on calcule l'image du polynôme x²+x-1
                  
Donc Im phi= vect((-1;x;x²))

Je demande tout simplement qu'on me confirme ce que j'ai fait est correcte.
Merci par avance

Non c'est faux:

phi(-1)=[-1-(-1)]/2=0

phi(x)=[(x+1)-(x-1)]/2=1 comme je l'ai déjà écrit!

phi(x²)=[(x+1)²-(x-1)²]/2=2x comme on te l'a déjà écrit aussi!

tu confonds  x calculé en  X+1  et  x multiplié par x+1 ?

Bonjour, j'ai le meme sujet que toi mais je comprend pas comment tu en arrive a devoir calculer des phi :s
Moi je suis perdu parce que j'ai pas trop compris ce qui se remplace par x²+x-1, bref je pose le probleme en entier voir si on peut m'expliquer

Soit E l'espace vectoriel des polynomes à coefficients réels de degrès inférieur ou égal à 2. On considère l'application phi : E (fleche) E qui associe au polynome P le polynome Q = Phi (P)

Q(x) = { P(x+1) - P(x-1) } / 2

1) Donner l'image du polynome x²+x-1
2) Montrer que f est un endormrphisme de E
3) Donner M, la matrice représentative de phi dans la base B = (1,x,x²)
4) Calculer M² et M^3.donner la fomr générale pour M^n quand n est un entier positif.

Merci de donner les explications,mon but n'est pas de recopier betement, je prefere ne pas le faire plutot que de rien comprendre en copiant . Je connais a peut pret la demarche mais je suis bloqué car je ne sais pas quoi faire de ce x²+1-1 je pense qu'en sachant ca je serais debloqué

1) Donner l'image du polynome x²+x-1   par phi biensur

Moi en fait j'ai remplacer le x par x²+x-1 ce qui donne 1 comme résultat ...

P(x) = a +bx + c x²  donc

P(x+1) = a + b(x+1) + c (x+1)²   !