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Exercice d'arithmétique

Posté par
Lola69
12-09-09 à 16:06

Bonjour, je bloque sur un exercice :

a et b désignent deux entiers relatifs non nuls.
a) Développer (a+b)3
b) Démontrer que 3 divise a3+ b3 si et seulement si (a+b)3.

Donc pour le a) aucun souci mais pour le b) je ne sais pas quelle méthode adopter.
Je ne sais pas comment prouver qu'un chiffre au cube est multiple de 3 (si encore il faut faire ça) ou s'il faut que je trouve la forme factorisée de a3+b3.
Merci!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exercice d'arithmétique 12-09-09 à 16:07

Bonjour

Non, un chiffre au cube n'est pas en général multiple de 3...

Il suffit de remarquer à partir de ton calcul que

(a+b)^3=a^3+b^3+3(a^2b+ab^2)

Posté par
geo3
re : Exercice d'arithmétique 12-09-09 à 16:17

Bonjour
énoncé incomplet

Citation :
b) Démontrer que 3 divise a³+ b³ si et seulement si (a+b)³

ssi quoi ?
A+

Posté par
leritale3801
re 12-09-09 à 16:23

il me semble

3|a^3 et 3|b^3

3|a^3+b^3

or (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

donc:

a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2

donc :

3|(a+b)^3-3a^2b-3ab^2

3|(a+b)^3-3(a^2b+ab^2)

donc

3|(a+b)^3 ; 3|-3(a^2b+ab^2)

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exercice d'arithmétique 12-09-09 à 16:27

L'énoncé était tout à fait correct!

Il est faux que 3|a^3 et 3|b^3. Il suffit de dire que puisque (a+b)^3-(a^3+b^3) est multiple de 3 (à cause des formules précédentes) si 3 divise l'un des deux il est bien obligé de diviser l'autre!

Posté par
Lola69
re : Exercice d'arithmétique 12-09-09 à 16:32

si et seulement si 3 divise (a+b)3 (désolé)

Alors j'ai fait une hypothèse :
Supposons que 3 divise a3+b3 alors 3 divise (a+b)3 puisque (a+b)3 = a3+b3+3(a2b+ab2)
J'ai ensuite affirmer que la réciproque est vraie
Donc 3 divise a3+b3 si et seulement si 3 divise (a+b)3
Est-ce suffisant ou incomplet?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Exercice d'arithmétique 12-09-09 à 16:43

C'est parfait!



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