Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

exercice d arithmétique ( spé math TS)

Posté par
mellepapillon
24-02-05 à 12:49

étude l'équation d'inconnue a:
a²+9=5^n
ou a et n des entiers naturels et n supérieur ou égal à 2

a- en raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair

b- on pose n=2p en factorisant 5^n-a² demonter qu'il existe un entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance entière de 5

mes recherches:

j'ai trouvé que 5^n , si n est impair était congru à 2 modulo 3 et que si n est pair était congru à 1 modulo 3
d'autre part pour tout n , 5^n est impair donc a² est pair donc a est pair
j'ai essayé de posé a = 2q mais le raisonnement ne mène pas à grand chose donc si vous avez quelques idées merci beaucoup !

Posté par dolphie (invité)re : exercice d arithmétique ( spé math TS) 24-02-05 à 17:56

a- bon début.
si n est impair alors 5n2(3)
il faut donc que a²soit congru lui aussi à 2 mod(3). Ce qui est impossible car a est un entier et aucun carré parfait n'est congru à 2 modulo3!!!

Donc cette équation n'a aucune solution si n est impair.

b- on a alors nécessairement n pair, qui s'écrit sous la forme: n=2p.
5^n-a^2 = 5^{2p}-a^2=(5^p-a)(5^p+a)
Or, 5p et a sont des entiers; donc les facteurs 5p+a et 5p-a sont des entiers.

De plus le produit doit faire 9.Pour obtenir 9 comme produit de deux entiers: 9=3*3 ou 9=1*9
Ainsi, - soit les deux facteurs sont égaux à 3 (impossible)
- soit le premier facteur vaut 1 et le second 9; cad:
5p+a=9
5p-a=1

on en déduit alors p=1 et a=4 cad n=2:
(4)²+9=5² !!!!

Posté par
mellepapillon
merci mais... 24-02-05 à 18:18

merci beaucoup !
par contre dans l'énoncé il mette qu'il existe un UNIQUE ENTIER NATUREL or avec ma calculette j'en ai trouvé un autre
5^16= 390625²+9
le sujet aurait il une erreur ?

Posté par
mellepapillon
demonstration 24-02-05 à 18:25

peux on pourver que aucun entier n'est congru à 2 modulo 3 , ça me parait évident mais le demontrer...
merci d'avance

Posté par dolphie (invité)re : exercice d arithmétique ( spé math TS) 24-02-05 à 18:25

euh...es-tu sur de ce que tu as écrit?

516=390625²  et non pas 516=390625² +9

regardes bien, avec ta calculatrice, la différence, et tu trouveras 0!

donc ca ne marche pas!

Posté par dolphie (invité)re : exercice d arithmétique ( spé math TS) 24-02-05 à 18:29

Démo pour montrer qu'aucun entier n'est congru à 2 modulo 3:

Soit a un entier naturel. Alors a est congru à 0,1 ou 2 modulo 3. D'accord?

Mettons le au carré,alors
- si a0 (3) alors a²0 (3)
- si a1 (3) alors a²1 (3)
- si a2 (3) alors a²4 (3) or 41 (3) donc a²1 (3)

et voilà...j'ai explicité tous les cas possibles....donc jamais un entier ne peut être congru à 2 mod(3).

Convaincue mellepapillon?

Posté par
mellepapillon
re : exercice d arithmétique ( spé math TS) 24-02-05 à 18:38

viiiiiiii escuse moi je suis désolée ( fin de journée plus de neurones )
as tu regardé pour la demostration ? merci encore

Posté par
mellepapillon
re : exercice d arithmétique ( spé math TS) 24-02-05 à 18:38

escuse le temps d'envoyer je viens de recevior, merci et bonne soirée

Posté par
mellepapillon
re : exercice d arithmétique ( spé math TS) 24-02-05 à 18:48

oui très convaincu , un grand grand merci , l'arithmétique devient de plus plus logique au fil des dm !

Posté par boudyach (invité)Hyper facile les gas 28-02-05 à 23:25

1) a² + 9 = 5^n [3] <=> a² + 0 = (-1)^n [3] / car 5 - 3 - 3 = -1
alors , si n est umpair, on aura  a² = -1 [3], pas possible !!!

2) 5^2p - a² = 9 <=> (5^p-a)*(5^p+a)=3*3 = 1*9 = 9*1
=>
5^p-a = 3  et  5^p+a = 3
ou
5^p-a = 1  et  5^p+a = 9
ou
5^p-a = 9  et  5^p-a = 1
<=>
a = 5^p - 3 et a = 3 - 5^p // => a = 0
ou
a = 5^p - 1 et a = 9 - 5^p // => a = 4
ou
a = 1 - 5^p et a = 5^p - 9 // => a = -4

puisque on est allé avec des implication, alors les solutions appartiennent aux nombres trouvés, on verifiant on trouve que les reponses sont S = ( -4 , 4 )



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !