étude l'équation d'inconnue a:
a²+9=5^n
ou a et n des entiers naturels et n supérieur ou égal à 2
a- en raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair
b- on pose n=2p en factorisant 5^n-a² demonter qu'il existe un entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance entière de 5
mes recherches:
j'ai trouvé que 5^n , si n est impair était congru à 2 modulo 3 et que si n est pair était congru à 1 modulo 3
d'autre part pour tout n , 5^n est impair donc a² est pair donc a est pair
j'ai essayé de posé a = 2q mais le raisonnement ne mène pas à grand chose donc si vous avez quelques idées merci beaucoup !
a- bon début.
si n est impair alors 5n2(3)
il faut donc que a²soit congru lui aussi à 2 mod(3). Ce qui est impossible car a est un entier et aucun carré parfait n'est congru à 2 modulo3!!!
Donc cette équation n'a aucune solution si n est impair.
b- on a alors nécessairement n pair, qui s'écrit sous la forme: n=2p.
Or, 5p et a sont des entiers; donc les facteurs 5p+a et 5p-a sont des entiers.
De plus le produit doit faire 9.Pour obtenir 9 comme produit de deux entiers: 9=3*3 ou 9=1*9
Ainsi, - soit les deux facteurs sont égaux à 3 (impossible)
- soit le premier facteur vaut 1 et le second 9; cad:
5p+a=9
5p-a=1
on en déduit alors p=1 et a=4 cad n=2:
(4)²+9=5² !!!!
merci beaucoup !
par contre dans l'énoncé il mette qu'il existe un UNIQUE ENTIER NATUREL or avec ma calculette j'en ai trouvé un autre
5^16= 390625²+9
le sujet aurait il une erreur ?
peux on pourver que aucun entier n'est congru à 2 modulo 3 , ça me parait évident mais le demontrer...
merci d'avance
euh...es-tu sur de ce que tu as écrit?
516=390625² et non pas 516=390625² +9
regardes bien, avec ta calculatrice, la différence, et tu trouveras 0!
donc ca ne marche pas!
Démo pour montrer qu'aucun entier n'est congru à 2 modulo 3:
Soit a un entier naturel. Alors a est congru à 0,1 ou 2 modulo 3. D'accord?
Mettons le au carré,alors
- si a0 (3) alors a²
0 (3)
- si a1 (3) alors a²
1 (3)
- si a2 (3) alors a²
4 (3) or 4
1 (3) donc a²
1 (3)
et voilà...j'ai explicité tous les cas possibles....donc jamais un entier ne peut être congru à 2 mod(3).
Convaincue mellepapillon?
viiiiiiii escuse moi je suis désolée ( fin de journée plus de neurones )
as tu regardé pour la demostration ? merci encore
oui très convaincu , un grand grand merci , l'arithmétique devient de plus plus logique au fil des dm !
1) a² + 9 = 5^n [3] <=> a² + 0 = (-1)^n [3] / car 5 - 3 - 3 = -1
alors , si n est umpair, on aura a² = -1 [3], pas possible !!!
2) 5^2p - a² = 9 <=> (5^p-a)*(5^p+a)=3*3 = 1*9 = 9*1
=>
5^p-a = 3 et 5^p+a = 3
ou
5^p-a = 1 et 5^p+a = 9
ou
5^p-a = 9 et 5^p-a = 1
<=>
a = 5^p - 3 et a = 3 - 5^p // => a = 0
ou
a = 5^p - 1 et a = 9 - 5^p // => a = 4
ou
a = 1 - 5^p et a = 5^p - 9 // => a = -4
puisque on est allé avec des implication, alors les solutions appartiennent aux nombres trouvés, on verifiant on trouve que les reponses sont S = ( -4 , 4 )
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