Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale DérivéesTopics traitant de Dérivées [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Exercice de dérivation

Posté par
Aldebarran 13-12-20 à 13:52

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice, il y a beaucoup de choses à prendre en compte et je ne m'en sors pas.

Voici l'énoncé :
h est la fonction définie sur [10;50] par h(x) = 90/(1+e^(-0.25x+6))
1. Démontrer que h'(x) = (22.5e^(-0.25x+6))/(1+e^(-0.25x+6))
Démontrer que h''(x) = (5.625e^(-0.25x+6)(e^(-0.25x+6)-1)/(1+e^(-0.25x+6))^3
2. Étudier la convexité de la fonction h sur l'intervalle [10;50]
3. Donner l'abscisse du point à partir duquel h' décroit.
4. Déterminer, en le justifiant, pour quelle valeur de x la fonction h atteint 80. Arrondir à l'unité.

Voici mes réponses :
Pour la 1. :
h(x) = 90/(1+e^(-0.25x+6))
h = 90/v avec v(x) = 1+e^(-0.25x+6) et v'(x) = -0.25e^(-0.25x+6)
h' = (90*(-v'))/v²
h'(x) = (90*0.25e^(-0.25x+6))/(1+e^(-0.25x+6))²
= (22.5e^(-0.25x+6))/(1+e^(-0.25x+6))²

h'(x) = (22.5e^(-0.25x+6))/(1+e^(-0.25x+6))²
h' = u/v avec u(x) = 22.5e^(-0.25x+6) u'(x) = -5.625e^(-0.25x+6) v(x) = (1+e^(-0.25x+6))²
v' = nu'u^(n-1) v'(x) = 2*(-0.25e^(-0.25x+6))(1+e^(-0.25x+6))
h'' = (u'v-uv')/v²
Je voudrais savoir si ce que j'ai fait ci-dessus est juste avant d'aller plus loin dans le calcul de h''.

J'ai fait les questions d'après en utilisant les résultat donnés dans l'énoncé :
2. On étudie le signe de h'':
5.625e^(-0.25x+6)>0 et e^(-0.25x+6)-1 ⇔ e^(-0.25x+6)>1 donc e^(-0.25x+6)>0
e^(-0.25x+6)>0 donc 1 + e^(-0.25x+6)>0 donc (1+e^(-0.25x+6))^3>0
h'' est positive donc h est convexe.

3. Je ne vois pas quoi répondre à cette question, j'ai dû faire une erreur dans l'étude de la convexité de h.

4. On doit calculer h(x) = 80 ⇔ 90/(1+e^(-0.25x+6)) = 80

Merci

Posté par
heklare : Exercice de dérivation 13-12-20 à 14:31




h(x)=\dfrac{90}{1+\text{e}^{-0,25x+6}}

h'(x)=90\times \dfrac{+0.25\text{e}^{-0,25x+6}}{(1+\text{e}^{-0,25x+6})^2}

h'(x)=22,5\times \dfrac{\text{e}^{-0,25x+6}}{(1+\text{e}^{-0,25x+6})^2}

Pour l'instant pas de problème  mis à part l'oubli d'un carré dans le texte initial

h''(x)=22,5\times \dfrac{(-0.25\,\text{e}^{-0,25x+6})(1+\text{e}^{-0,25x+6})^2)-\text{e}^{-0,25x+6}\bigg(2(-0,25\,\text{e}^{-0,25x+6}(1+\text{e}^{-0,25x+6})\bigg)}{(1+\text{e}^{-0,25x+6})^4}

h''(x)=22,5\times \dfrac{(-0.25\,\text{e}^{-0,25x+6})(1+\text{e}^{-0,25x+6})-\text{e}^{-0,25x+6}\bigg(2(-0,25\,\text{e}^{-0,25x+6}\bigg)}{(1+\text{e}^{-0,25x+6})^3}

h''(x)=22,5\times \dfrac{(0,25\,\text{e}^{-0,25x+6})\bigg(-1-\text{e}^{-0,25x+6}+2\,\text{e}^{-0,25x+6}\bigg)}{(1+\text{e}^{-0,25x+6})^3}

h''(x)= \dfrac{(5,625\,\text{e}^{-0,25x+6})\bigg(-1+\text{e}^{-0,25x+6}\bigg)}{(1+\text{e}^{-0,25x+6})^3}

Posté par
Aldebarranre : Exercice de dérivation 13-12-20 à 14:51

Ah oui, j'ai oublié de rajouter un carré effectivement. Merci. Aussi, voyez-vous comment répondre à la 3ème question ? Je ne suis pas sûr de l'avoir compris. J'ai tracé la courbe sur geogebra et je ne vois pas d'endroit où la tangente est décroissante.

Posté par
heklare : Exercice de dérivation 13-12-20 à 15:00

Revoir le signe de -0.25x+6 ou la résolution de \text{e}^{-0,25x+6}-1 >0

question 4 je préférerais  on doit résoudre h(x)=80

Posté par
heklare : Exercice de dérivation 13-12-20 à 15:07

On ne parle pas de tangente mais de la courbe représentative de la dérivée

Exercice de dérivation

Posté par
Aldebarranre : Exercice de dérivation 13-12-20 à 15:39

Je trouve e^(-0.25x+6)-1 > 0 ⇔ -0.25x+6-1 > 0 ⇔x > 20

Pour le 4. On résout h(x) = 80
Je crois que je ne sais pas résoudre cette équation. Par contre graphiquement, je trouve h(x) = 80 ⇔x = 32.32

Posté par
heklare : Exercice de dérivation 13-12-20 à 15:48

Non  

\text{e}^{-0,25x+6}-1 >0 \iff \text{e}^{-0,25 x+6}>\text{e}^{0}

donc à résoudre -0,25x+6>0

Question 4 \dfrac{90}{1+\text{e}^{-0,25x+6}}=80 \iff 1+\text{e}^{-0,25x+6}=\dfrac{9}{8}

Posté par
Aldebarranre : Exercice de dérivation 13-12-20 à 17:28

Après étude du signe je trouve que h est convexe sur l'intervalle [10;24] et concave sur l'intervalle [24;50].
Donc h' est décroissante à partir de 24.

Pour la 4, est-ce correct si j'écris que h atteint 80 en 32 (environ) ?

Posté par
heklare : Exercice de dérivation 13-12-20 à 17:53

D'accord pour 24  c'est ce que montre le graphique

Pour 4 non il faut le prouver


\vous avez bien résolu  des équations de la forme \text{e}^A=B avec B >0

rappel on écrit B=\text{e}^{\ln B} on est donc amené à résoudre     \text{e}^A=\text{e}^{\ln B}

donc A=\ln B

Posté par
Aldebarranre : Exercice de dérivation 13-12-20 à 20:54

D'accord je vais essayer de résoudre ça ainsi, mais je n'ai pas vu en classe la fonction ln

Posté par
heklare : Exercice de dérivation 13-12-20 à 20:58

Il est vrai que la fonction exponentielle est vue en première mais non la fonction réciproque \ln

Si vous ne l'avez pas vu, il reste alors la lecture graphique  soit environ 32

valeur exacte  24+12\ln 2

Posté par
Aldebarranre : Exercice de dérivation 13-12-20 à 21:17

J'ai écrit que x = environ 32.
Merci pour votre aide

Posté par
heklare : Exercice de dérivation 13-12-20 à 21:38

Pour la justification : lecture graphique

De rien


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !