As-tu fait une figure ?

pour réfléchir...

par exemple avec la figure de Malou démontre que AF=AI ......

Est-ce que I est le milieu de AD ?

Bonjour,

si le trapèze est rectangle en A oui, sinon non.

et d'ailleurs on n'a même pas besoin que ce soit un trapèze pour faire l'exo.

un quadrilatère ABCD avec AB=84 et CD=25 et tel que "on suppose qu'il existe un cercle inscrit dans ce quadrilatère" et la même démonstration démontre la même propriété.

Je suis un peu perdu là ..

J'essaye de démontrer que AF=AI mais je n'arrive pas

Je te conseille de suivre le conseil de mbenguey.

As-tu essayé Pythagore ?

J'ai pas très bien compris le schéma est-ce que I et F et H sont les projections orthogonaux de G sur les droites AD et AB et BC ?

Parce que ça n'a pas été mentionné par malou ^^

Si c'est le cas on peut le démontrer avec Pythagore  , et on peut aussi montrer que BH=BF

ainsi que DI=DE et CE=CH

oui, une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon en son extrémité (définition de collège de la tangente à un cercle)

ceci dit pour mieux voir ce qu'il faut démontrer dans l'indice de mbenguey
il faut "griser", "effacer", ce qui ne sert pas dans la figure et ne garder que ce qui est en relation avec cet indice :

bon tu as compris entre temps.

écris le périmètre décomposé en petits bouts.

Bon je pense que je l'ai trouvé
Selon Pythagore on montre que BH=BF , AI=AF , DI=DE et CE=CH
D'autre part :
AD+BC= AI +ID + BH+HC
AD +BC=AF +DE +BF+CE
D'où : AD+BC= (AF+FB)+(DE+EC)= AB+DC

donc P= AD+BC+AB+DC= 2(AB+DC) =2*(84+25)=218

Donc P = 218
            

et nulle part tu n'as utilisé là dedans le fait que ABCD est un trapèze :
comme je le disais c'est vrai pour un quadrilatère quelconque du moment qu'il admet un cercle inscrit.
(pas tous les quadrilatère en ont un)

et d'ailleurs un quadrilatère admet un cercle inscrit si et seulement si la somme de deux côtés opposé est égale à la somme des deux autres
(ce que tu as démontré dans un sens : si il a un cercle inscrit, alors la somme etc)
la réciproque est plus compliquée mais on ne la demande pas,
ni de construire de tels quadrilatères.

Merci beaucoup ! J'ignorais ce fait ^^

Pour le fun :

construction d'un trapèze correspondant aux données de l'énoncé (il y en a une infinité)

traçons AB = 84 et AM = 25, M, A, B alignés dans cet ordre



choisissons un point P arbitraire sur [BM]
on a MP + PB = BM = AB + CD
il s'agit donc de construire un trapèze ABCD avec BC = BP et AD = PM
on aura donc bien AB + CD = BC + AD et ce trapèze aura un cercle inscrit.
le point C sera donc sur le cercle de centre B et de rayon BP
le point D sera sur le cercle de centre A et de rayon PM
d'autre part avec CD = AM et parallèles, D est le transformé de C par la translation qui transforme A en M
donc D se trouve sur le cercle transformé de (B, BP) par cette translation
donc D est le point d'intersection de ce cercle là et du cercle (A, PM)
on termine alors la construction aisément : point C, puis bissectrices des angles A et B pour tracer G centre du cercle inscrit, puis les points de contact.

comme P est choisi arbitrairement sur [BM] il y a une infinité de solutions
il y a "encore plus" ()de solutions si ABCD n'est pas un trapèze, avec les mêmes données par ailleurs. (en choisissant arbitrairement D sur le cercle (A, PM))


on ne discutera pas selon les valeurs de AB et CD données ni sur le choix de P arbitraire.