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Niveau seconde
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exercice de géométrie sur les figures circonscrites

Posté par Kouao Sonia (invité) 28-11-03 à 12:02

Aidez-moi à résoudre cet exercice

Soit ABCD un rectangle tel que BD=2AB et  (C)  le cercle circonscrit à
ABCD. Les tangentes en A et D au cercle (C)  ont pour point d'intersection
M et coupent la droite (BC) respectivement en N et P. Démontrer que
MNP est un triangle équilatéral.

Posté par
watik
re : exercice de géométrie sur les figures circonscrites 28-11-03 à 19:05

D'abord je vous invite à construire le schéma.

Notons O le centre du rectangle.

on sait que 2AB=BD

D'autre part : OA=BD/2 ; car propriété de la diagonale du rectangle et de
son centre.
Donc OA=AB. de même OB=AB car dans un rectangle les diagonales ont même
longueur. Donc leurs moitiés qui sont OB et OA sont aussi égales.

En résumé on a montré que OA=OB=AB donc le triangle OAB est équilatérale.

Considérant maintenant les deux angles BAO et ANB de sommets A et N respectivement.

On a :

AB est perpendiculaire à NB; Car ABCD est un rectagle ses angles sont
droits.

et NA est perpendiculaire à AO car NA est la tangente au cercle circonscrit
au rectangle ABCD donc cette tangente est perpendiculaire au diamètre
du cercle en A qui n'est autre que la droite AO.

En résumé en vient de montrer que les deux angles BAO et ANB de sommets
A et N respectivement ont leurs côtés perpendiculaires. Donc ils
sont égaux. Et on a :
ANB = BAO = 60° car le triangle ABO est équilatéral comme on l'a
montré précédement.

Pour l'angle CPD = 60° car la démonstration est la même car le problème
est symétrique.

en définitif le triangle MNP a deux angles égaux chacun à 60° donc il
est équilatéral.



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