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Exercice de math / variation de fonction

Posté par
Mbzy
10-05-21 à 19:44

Bonjour, je bloque sur cet exercice depuis quelques jours, pourriez m'aider merci.
F est la fonction définie sur Df par f(x)=(2x+1)/(4x^2+4x+5)
Cf est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal d'unités graphiques 1cm en abscisse et 4cm en ordonnée. f' est la fonction dérivée de f sur Df.
1a. Tracer a l'aide de la calculatrice, la parabole équation y= 4x^2+4x+5 et en déduire que f est définie sur R.
b. Vérifiez également que pour tout x appartient à R: f'(x)=(-2(2x+3)(2x-1))/((4x^2+4x+5)^2).
c. Étudiez le signe de f'(x) sur R puis dresser le tableau de variation de f.
2. F est une fonction définie sur R ayant pour dérivée la fonction f. On sait que F(-3/2)=0
Déterminez une équation de la tangente d à la courbe représentative de F au point d'abscisse (-3/2).
Merci pour votre aide

modération> **Mbzy, j'ai complété ton titre
La prochaine fois , essaie de choisir un titre plus explicite, lire Q08 [lien]**

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice de math 10-05-21 à 19:49

Bonjour
1a) tu l'as fait ? qu'est ce qui te gêne ?

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 10-05-21 à 19:55

J'ai tracé la courbe mais je ne vois pas comment en déduire que f est définie sur R. Cela se voit dans le calcul car il est faisable ...

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice de math / variation de fonction 10-05-21 à 20:06

as-tu toujours le diviser ? 4x²+4x+5 a-t-il le droit de prendre n'importe quelle valeur ?

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 10-05-21 à 20:43

Je suis désolée mais je ne vois pas ce que vous voulez dire .🤗
Il est juste dit que f est définie sur R donc toutes valeurs possibles...

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 11:17

Non on ne dit pas que f est définie sur R on nous demande de déduire, grâce au graphique, que f est définie sur R.

Tu trouveras l'explication et des exemples pour la 1ère  question ici :

http://www.jybaudot.fr/Analyse/domaine.html

Posté par
jean3
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 13:22

Que peux-dire de ta parabole par rapport à l'axe des abscisses?

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 14:17

L'équation ne doit jamais être nul pour que f soit definie sur R donc vu que la parabole n'a ni d'abscisse ni d'ordonnée nul cela le prouve.
Est ce que ce raisonnement est correct?
Merci

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 14:36

Le raisonnement est bon mais il faut sérieusement revoir le vocabulaire employé...

Le dénominateur de f (donc le polynôme) ne doit jamais s'annuler (ou encore l'équation 4x^2+4x+5=0 ne doit pas avoir de solutions réelles, ou encore, pour tout réels x, l'égalité 4x^2+4x+5=0 ne doit jamais être vérifiée). Etant donné que sa courbe représentative ne croise jamais l'axe des abscisses (du moins, elle en a l'air après lecture graphique), le polynôme ne s'annule jamais.

Voilà, et il faut aussi préciser qu'il n'y a pas d'autres interdictions : le numérateur et le dénimonateur sont trivialement bien définis sur R

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 14:38

question b), à toi de jouer

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 14:45

Pour la question b j'ai calculer la dérivée de la fonction f(x) afin de parvenir au résultat à atteindre.
Mais je ne parviens pas au même résultat, je trouve :
(-8x^2+8x+14)/(4x^2-4x+5)^2

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 14:55

Et bien refais les calculs J'ai pas vérifié l'énoncé. C'est de la forme u/v dont la dérivée est (u'v-uv')/v^2

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 14:56

Ensuite dis moi où f est dérivable.

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 14:56

J'ai refait le calcul trois fois avec cette même formule mais je ne parviens jamais à -2(2x+3)(2x-1)

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 14:58

Ah, et n'oublie pas de factoriser à la fin, en t'appuyant sur l'énoncé. Si tu as du mal à factoriser tu peux développer l'expression de l'énoncé.

Posté par
alb12
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 15:00

salut,
pas d'erreur dans l'enonce.
il faut aller de


 \\ \dfrac{2 \left(4 x^{2}+4 x+5\right)-\left(2 x+1\right) \left(8 x+4\right)}{\left(4 x^{2}+4 x+5\right)^{2}}
 \\

à


 \\ -\dfrac{2 \left(2 x-1\right) \left(2 x+3\right)}{\left(4 x^{2}+4 x+5\right)^{2}}
 \\

En route !

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 15:18

Je ne trouve toujours pas après factorisation le bon résultat, je trouve :
8x^2+8x+10-16x^2-8x+8x+4/(4x^2+4x+5)^2
Ensuite
-8x^2+8x+14/(4x^2+4x+5)^2
Pour finir en factorisant
-2(4x^2+4x-7)/(4x^2+4x+5)^2

Je ne trouve pas l'endroit où j'ai fait une erreur ...

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 15:20

Il s'agit d'erreurs de signes, dès la première ligne.

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 15:26

Et ensuite, il faut factoriser le trinôme... Comment on fait ? (pour ça je t'avais dit tu peux développer l'énoncé, c'est plus facile, mais un jour ou l'autre on te donnera pas la réponse !)

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 15:39

Bon, on va pas passer 3h sur comment développer un produit.
2(4x^2+4x+5)-(2x+1)(8x+4)=(8x^2+8x+10)-(16x^2+8x+8x+4)=-8x^2-8x+6
 \\ =-2(4x^2+4x-3)

Comment on factorise se trinôme ?

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 15:46

J'avais trouvé, je suis en train de factoriser

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 16:14

-2(4x^2+4x+3)
-2(4x^2-2x+6x-3)
-2(2x(2x+3)-1(2x+3))
-2(2x+3)(2x-1)
Désolée pour ma lenteur, je n'avais pas fait de factorisation depuis longtemps 🤗

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 16:21

Oui mais je pense que c'est parce que tu ne connais pas la bonne méthode. Tu as tatonné, petit à petit.

Tu dois avoir un cours sur la factorisation des polynômes. Si le trinôme admet a comme coefficient dominant, et b et c commes racines, alors il s'écrit aussi a(x-a)(x-b).
Il suffisait donc de chercher les racines du trinôme.

On peut chercher des racines évidentes, ou, ici, comme on a déjà la solution, il suffisait de vérifier que 1/2 et -3/2 étaient bien des racines.

Sinon, on peut toujours calculer le discriminant.

Quel est le domaine de dérivabilité, alors ?

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 16:35

pardon, il s'écrit aussi a(x-b)(x-c). Bon on va appeler x1 et x2 les racines plutôt il s'écrit alors a(x-x1)(x-x2)

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 16:44

Le domaine de dérivabilité est R donc )-l'infini ; +l'infini(
?

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 16:46

F est défini sur R donc le domaine de dérivabilité est de -l'infini à+ l'infini

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 16:57

Il faut dire d'où ça sort.
Le dénominateur de f' est celui de f au carré. Celui de f ne s'annule pas, donc celui de f' non plus sur R. Le numérateur et le dénominateur de f' sont biens définis sur R, donc f est dérivable sur R.

Il existe pleins de fonctions non dérivables à des endroits où elles sont définies : par exemple la fonction racine n'est pas dérivable en 0, la fonction valeur absolue non plus.

question c)

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 17:00

Je préfère réctifier : donc f est dérivable dans R partout où elle est définie. Donc dérivable sur R.

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 17:06

C.
Après calcul de f'(x)=0 qui donne deux solutions X1= -3/2 et X2= 1/2
On peut dire que entre - l'infini et -3/2 f'(x) est négative donc f est décroissante. Entre -3/2 et 1/2 f'(x) est positive donc f est croissante . Et entre 1/2 et +l'infini f'(x) est négative donc f est décroissante.

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 17:09

Après la résolution de l'équation, d'inconnue x dans R, f'(x)=0
C'est juste, suivant

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 17:13

Il y a également le minimum trouver suite à la résolution de la fonction f(-3/2) qui est égal à -0.25 et le maximum trouver suite à la résolution de la fonction f(1/2) qui est égal à 0,25.

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 17:16

2a. Sachant que la dérivée de F c'est f(x)Pour cette question j'avais fait y= f(a) (x-a)+F(a) donc y= f(-3/2)(x-(-3/2))+F(-3/2)

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 17:22

Attention il s'agit de minimum et de maximum locaux. J'ai pas vérifié les calculs pour f(-3/2) f(1/2).

Pour la 2), c'est ça. On peut un peu mieux rédiger : "la tangente à la courbe représentative de F en -3/2 a pour équation y=..." ou encore "d : y=..." (dans l'énoncé ils appellent d cette tangente).

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 17:29

Bon l'exercie est terminé, dernière remarque : on ne "résout" pas une fonction. On résout une équation (par exemple f'(x)=0), et on calcule f(-3/2)

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 17:32

Encore une pour le plaisir f(x) c'est un réel. La dérivée d'une fonction n'est pas un réel, mais une fonction. La dérivée de F c'est f, pas f(x).

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 18:08

Ok merci beaucoup pour votre aide 😀🤗
Bonne fin de journée

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 18:16

Une dernière petite question raccroché a cet exercice était b. Des trois courbes ci-dessous, qu'elle est celle qui représente F? Justifiez.
J'ai donc résolu l'équation :
d: y=-0,25×(x-1,5)+0
           -0,25x+0,375
Le problème c'est qu'aucune des courbes ne représentent cette équation.
Je pense donc mettre trompé sur la manière de procéder mais je ne sais pas quoi faire.🤗
Merci

Exercice de math / variation de fonction

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 19:10

tu n'as pas résolu l'équation... Tu as terminé le calcule de l'équation cartésienne, en faisant encore une erreur de signe.

On sait que F(-3/2)=0
Et que l'équation de la tangente à sa courbe en -3/2 a pour équation : y = ...
Tu peux visualiser la tangente en -3/2, et estimer une valeur facile (par exemple l'ordonnée à l'origine).

Mais il faut déjà corriger ton erreur.

Chacune de ces info te permet d'élminer une courbe.

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 19:12

Evidemment qu'aucune de ces courbes n'est la tangente de F ! Sur le schéma on doit dire laquelle est F !

Posté par
NoPseudoDispo
re : Exercice de math / variation de fonction 11-05-21 à 19:15

résoudre une équation c'est chercher l'ensemble des x qui vérifient une égalité. A la fin, on donne l'ensemble des solutions : S = {...}

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 12-05-21 à 10:04

Bonjour,
J'ai refait mon calcul et trouvé :
-0,25x-0,375.
Pour la suite je ne comprends pas ce qu'il faut faire ...

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice de math / variation de fonction 12-05-21 à 10:07

bonjour
mais d'où sors-tu ce -0,25x-0,375. ??? qui ne veut rien dire d'ailleurs
ta fonction F est définie par F(x)=(2x+1)/(4x^2+4x+5)
c'est celle là que tu dois "retrouver" en éliminant celles qui ne fonctionnent pas (apparemment)

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice de math / variation de fonction 12-05-21 à 10:10

tu as montré que ta dérivée s'annulait en -3/2 et 1/2, en changeant de signes manifestement
il n'y a qu'une seule courbe qui peut répondre à ça à première vue

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 12-05-21 à 10:17

Donc a première vue c'est la dernière courbe

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 12-05-21 à 10:22

Mais du coup la dernière courbe c'est la représentation de la dérivée de la fonction F non?...

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 12-05-21 à 10:23

Enfin, je crois que je me suis mélangée les choses...

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 12-05-21 à 10:24

Je n'ai rien dit , je viens d'aller voir mon tableau de signe 🤗

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice de math / variation de fonction 12-05-21 à 10:27

alors ?

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 12-05-21 à 10:33

Alors même en ayant rectifier ce que je venais de dire grâce au tableau de variation, je ne vois pas quel autre calcul ou affirmation faire à part dire que la dérivée s'annule en -3/2 et 1/2...
Faut il chercher la fonction de F par rapport à sa dérivée ?

Posté par
Mbzy
re : Exercice de math / variation de fonction 12-05-21 à 11:29

Ou je réponds en disant qu'ayant calculer l'équation de la tangente au point -3/2, je trouve le coefficient directeur a=-0,25.
Donc la courbe représentative F c'est C2
?

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