Bonjour,

As-tu déjà trouvé la solution positive "a" de ton équation ?

faus il chercher delta?

Calcul de Delta + calcul des solutions oui.

Ok je le fais au brouillon, je te l'envoie dans 5 minutes.

a est tel que a² - a - 1 = 0
a² = a+1
a³ = (a + 1) a = a² + a = 2a + 1
a⁴ = (a +1)² = a² + 2a + 1 = 3a + 2
...

En effet, le nombre "a" est appelé "nombre d'or" et est plus généralement noté .

De plus, les puissances de suivent des propriétés étonnantes comme le décrit pgeod que je salue au passage.

Moi j'ai pas fais comme ca.

Bonjour,

il n'est pas question de faire ça ligne par ligne jusqu'à la puissance 21 !!
21 = 16 + 4 + 1

a²¹ = ((a⁴)²)² × a⁴ × a

anto2b079 : n'anticipons pas

avant de calculer a^21, toi tu dois déja calculer a !!
(en valeur exacte, avec écrit et pas à la calculette)

les histoires de puissance c'est ensuite pour calculer a^21 connaissant a !!
pgeod a dégainé un peu trop vite sur ce coup là

Sachant que x^2-x-1.                                                                                                                                              Delta=b^2-4ac; (-1)^2-4multiplie1multiplie(-1) ;  delta= 5 ;  x1= -1- racine de 5/2 et x2= -1+racine de 5 / 2; x1= -1,62 et x2= 0,62.                                                                                                                          Est ce juste si oui que faut il faire apres?

garder la valeur exacte
a = x₂ = (-1+racine de 5) / 2, parenthèses obligatoires

Ah d'accord.

C'est juste ce que j'ai fais?

même pas relevé l'erreur, j'étais choqué par tes valeurs numériques absolument inutiles vu qu'on demande des valeurs exactes

b = -1 donc -b = -(-1) = +1

Ok

Apres je suis bloque je sais plus quoi faire

maintenant qu'on connait la valeur de a = (1 + racine de 5)/2

c'est les calculs de pgeod pour calculer progressivement a^21 en fonction de a (simplement écrit a)
ou ma méthode accélérée évitant de faire 20 calculs

et remplacer tout à la fin a par sa valeur exacte

Comment as tu fais pour obtenir directement a ^21, peux tu m'expliquer stp?

Faut il remplacer à par la valeur trouver ou faire jusqu'à  a^21 sans remplacer?

bein j'ai appliqué a^m × aⁿ = a^m+n et (a^m)ⁿ = a^mn quels que sounet a, m et n

mais les calculs sont loin d'être finis !!
c'est à toi de les mener jusqu'au bout

avec la méthode de pgeod si on la continue telle quelle il faut 19 calculs en tout :
calcul de a³, a⁴ (déja faits) a⁵, a⁶ ... a²⁰, a²¹

mon accélération de ces mêmes calculs permet d'avancer à grands pas au lieu de un par un.

Tu me conseilles de faire qu'elle méthode ?

celle que tu veux c'est pareil (mais plus ou moins long),

en tout cas poursuivre les calculs commencés par pgeod pour arriver tout à la fin à a^21 = a + où et sont certains nombres entiers que l'on calcule petit à petit

que ces calculs soient "accélérés" ou pas par ma méthode. (vu que fondamentalement c'est la même)

D'accord j'essaye quelque uns et je te montre pour voir si c'est ok.

Pourquoi ecris il pour a^4 a^2+2a+1= 3a+2?

parce que a^2 = a+1

c'est la clé de tout le calcul : chaque fois qu'on rencontre un "a^2" on le remplace par a+1

a^5= 4a+3?

Je crois que j'ai fais faux

a^5 = a(a+1)^2 = (a^2+a)(a +1) = a^3+a^2+a^2+a= a+a+1+a+1+a+1+a = 5a+3

non

a^5 = a*(a^4) = a(3a + 2) = 3a^2 + 2a = 3(a+1) + 2a = 3a + 3 + 2a = 5a + 3

courage ... si on fait ça un par un, on n'a pas fini !
on peut aller un peu plus vite en utilisant les nombres de Fibonacci
ça fait autant de calculs mais ces calculs sont juste des additions !

mais si on n'en parle pas dans l'exo et si on demande brusquement a^21 sans aucune autre question il faut avoir beaucoup d'imagination pour les utiliser !! (et en plus il faut prouver qu'on a le droit de les utiliser dans ces formules de a^n)

tu es certain que l'exo est uniquement et tout entier ces seules lignes que tu as écrites ici dans ton premier message ?

C'est ca?

J'ai trouver comme toi

je répondais à ton message d'avant (4a+3)
ton nouveau calcul est correct bien que inutilement compliqué.

Ok

a^6= a^2(a+1)^2= a(a^2+a)(a+1)= (a^3+a ^2)(a+1)= a^4+a^3+a^3+a^2= a+1+a+1+a+1+a +a+1+a +a+1= 7a+5

C'est ca?

je ne saurais trop te conseiller ma méthode d'accélération :

a² = a+1 (c'est l'équation)
a⁴ = (a²)² = (a+1)² = a² + 2a + 1 = 3a + 2 (calculé par pgeod, mais le calcul de a³ est inutile)
a⁸ = (a⁴)² = (3a+2)² = 9a² + 12a + 4 = 9(a+1) + 12a + 4 = 21a + 13
a¹⁶ = (a⁸)² = (21a + 13)² = ...
a²⁰ = a¹⁶ × a⁴ = (...)(3a + 2) = ...
a²¹ = a × a²⁰ = a(...) = ... terminé

sans avoir eu besoin de calculer toutes les puissances intermédiaires a⁵, a⁶ etc

En tu me conseille de faire que ces puissances?

un par un et au plus rapide et simple a⁶ = a(a⁵) = a(5a+3) = ...
donc, non, ça ne fait pas 7a+5
(déja dit que ta méthode de calcul était trop compliquée, donc source d'erreurs)

Ok

a16=  a (8)^2 = (21a+13a) = 441a^2+ 546 a + 169= 441(a+1)+546a+169 = 987a+610

C'est ca?

(21a+13^2) pardon

oui.
(sauf erreurs de frappe : il manque un carré et parenthèses et exposants mal placées au cours du début du calcul, mais le résultat est bon)

nota : on ne peut pas copier-coller des exposants a¹⁶, il faut les refabriquer
ou copier coller à partir du "source" du message

(21a+13)^2 tu voulais dire

Je fais le 20 et je te montre?

oui, continue...

a^20=  a^16foisa^4 = (987a+610)(3a+2) =  2961a^2+ 1974a+1830a+1220= 2961(a+1)+3804a+1220= 6765a+ 4181