Voici l'énoncé ci-dessous
On étudie la croissance d'un bambou à partir d'un instant donné. On admet que le diamètre de la tige principale est donné par D(t) = 15/(1+20e^-0.5t), où D(t) s'exprime en centimètres et t s'exprime en semaines avec 0<+t<=20. La courbe C représente la fonction D dans un repère du plan.
Cet exercice a pour but de déterminer le nombre de semaines nécessaires pour que la vitesse de croissance du bambou commence à s'infléchir.

1. A l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient
=> D(t) = 15/(20e^(-1/2t)+1)
=> La dérivée seconde : 75e^(-1/2t) * 20e^(-1/2t)-1/((20e^(-1/2t)+1)^3)

a. Donner l'expression de D''(t) en fonction de t.
b. Justifier que D''(t) est du signe de f(t) = 20e^(-0,5t)-1.

2a. Dresser le tableau de variation de f sur [0, 20].
2b. Justifier que l'équation f(t) = 0 admet une unique solution notée a, sur cet intervalle.
2c. A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement à l'unité près de a.
2d. En déduire le tableau de signes de la fonction f.

3. Conclure en répondant au problème posé.


Je voulais savoir avant de continuer l'exercice si pour la 1 j'avais bien exprimé la fonction en fonction de t.

J'ai trouvé le résultat suivant : 1500e^(1/2t) - 75e^t/((20+e^(1/2t))^3)